§ 9. Вероятности событий в испытаниях Бернулли

Баскетболист выходит на линию штрафного и бросает пять раз подряд. Тренеру не так важно, какими по счёту бросками он попадёт, — ему важно, сколько мячей окажется в кольце. Вопрос «с какой вероятностью попаданий будет ровно три?» уже не про одну цепочку, а про целую группу цепочек.

Две готовые половинки.

Обе половинки ответа мы уже знаем. Первая: в серии из n независимых испытаний Бернулли любая цепочка, где k букв У и n − k букв Н, имеет одну и ту же вероятность pᵏqⁿ⁻ᵏ — порядок букв на неё не влияет. Вторая: таких цепочек ровно Cₙᵏ — столько, сколькими способами можно выбрать k мест для буквы У из n мест.

Посмотри на рис. 1. В серии из пяти испытаний три успеха дают десять цепочек — от УУУНН до ННУУУ. У каждой вероятность p³q². Две разные цепочки не могут случиться в одном опыте, поэтому их вероятности складываются. Десять одинаковых слагаемых — это 10 · p³q², а 10 = C₅³.

Формула Бернулли. В серии из n испытаний Бернулли вероятность события «ровно k успехов» равна P = Cₙᵏ pᵏqⁿ⁻ᵏ, где p — вероятность успеха в одном испытании, а q = 1 − p — вероятность неудачи.

Множитель Cₙᵏ говорит, сколько цепочек подходит событию, а pᵏqⁿ⁻ᵏ — какова вероятность каждой из них.

Пример 1. Ровно три попадания.

Дано: баскетболист попадает штрафным с вероятностью 0,6, бросков 5, броски независимы. Найти вероятность события A «ровно 3 попадания».

Решение. Успех — попадание: p = 0,6, q = 1 − 0,6 = 0,4, n = 5, k = 3. По формуле Бернулли P(A) = C₅³ · 0,6³ · 0,4² = 10 · 0,216 · 0,16 = 0,3456. Ответ: 0,3456, то есть примерно 35 %.

На рис. 2 такие же вероятности посчитаны для всех k от 0 до 5 — каждому числу попаданий свой столбик. Столбик над тройкой самый высокий: три попадания из пяти — самый частый итог для этого игрока. А если сложить высоты всех шести столбиков, получится ровно 1: при любом раскладе число попаданий окажется каким-то одним из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5.