Главная → Уроки → Вероятность и статистика 9 класс

§ 8. Число успехов в испытаниях Бернулли

Прочитай параграф о числе успехов в серии испытаний Бернулли и ответь на 10 вопросов.

Кассир в метро заранее складывает монеты столбиками по десять штук, чтобы быстрее отсчитывать сдачу. Кладёт он их не глядя, и каждая монета ложится орлом или решкой вверх как придётся. Сколько может получиться разных столбиков, в которых орлом вверх лежат ровно четыре монеты? Теперь нас занимает не вероятность одной цепочки, а число подходящих цепочек.

Цепочки с тремя успехами.

Итог серии испытаний Бернулли мы записываем цепочкой из букв У и Н. Возьмём серию из пяти испытаний и выпишем все цепочки, в которых букв У ровно три. Их десять (рис. 1): УУУНН, УУНУН, УУННУ, УНУУН, УНУНУ, УННУУ, НУУУН, НУУНУ, НУНУУ, ННУУУ.

Десять цепочек из пяти букв, в каждой ровно три буквы У (выделены зелёным): УУУНН, УУНУН, УУННУ, УНУУН, УНУНУ, УННУУ, НУУУН, НУУНУ, НУНУУ, ННУУУ; справа от каждой — номера мест букв У; внизу: C₅³ = 5! / (3! · 2!) = 10
Рис. 1. Все цепочки с тремя успехами в пяти испытаниях: C₅³ = 10

Выписывать их подряд не обязательно. Цепочка полностью задана тем, на каких местах стоят буквы У: все остальные места займут буквы Н. Значит, нужно выбрать три места из пяти, а порядок, в котором мы их выбираем, роли не играет. Это число сочетаний: C₅³ = 5!/(3! · 2!) = 10 — ровно столько цепочек и на рисунке.

То же рассуждение годится для любой серии.

Правило. Число элементарных событий, благоприятствующих k успехам в серии из n испытаний, равно Cₙᵏ.

Число Cₙᵏ считают по формуле или берут из треугольника Паскаля: строка n, столбец k (рис. 2).

Треугольник Паскаля, строки с 0 по 10; выделены клетка строки 5 и столбца 3 со значением 10 и клетка строки 10 и столбца 4 со значением 210; строка 10: 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1
Рис. 2. Треугольник Паскаля: C₅³ = 10, C₁₀⁴ = 210

Вернёмся к кассиру. Каждая монета в столбике — испытание Бернулли, успех — «орёл вверху».

Дальше — в приложении

Полный пересказ по учебнику «Вероятность и статистика 9 класс», тест из большого пула вопросов и разбор ошибок с ИИ-репетитором. За сданный тест ребёнок получает экранное время — родители задают, сколько минут стоит урок.

Пройти урок бесплатноКак это работает

Вопросы из теста

Правильные ответы и разбор ошибок — в приложении: при пересдаче вопросы меняются, поэтому списать не получится.

Серия состоит из n испытаний Бернулли. Сколько её элементарных событий благоприятствуют ровно k успехам?

Проводится серия из 10 испытаний Бернулли, вероятность успеха p = 0,7. Каких элементарных событий больше: тех, в которых 3 успеха, или тех, в которых 7 успехов?

← § 7. Серия испытаний Бернулли§ 9. Вероятности событий в испытаниях Бернулли →