§ 7. Серия испытаний Бернулли

Баскетболист перед тренировкой бьёт десять штрафных подряд. Каждый бросок либо в кольце, либо мимо, и промах на третьем броске никак не мешает попасть на четвёртом. Сколько будет бросков, решено заранее: ровно десять, как бы они ни легли. Таких опытов вокруг много, и у них есть общее имя.

Число испытаний задано заранее.

В прошлом параграфе опыт шёл до первого успеха и мог затянуться сколь угодно долго. Теперь всё иначе: испытание повторяют назначенное число раз и не останавливаются, чем бы ни кончилась очередная попытка. Нужны два условия. Испытания должны быть одинаковыми — вероятность успеха p в каждом одна и та же. И они должны быть независимыми: исход одной попытки не меняет шансов в следующей.

Устроить такое удаётся не всегда. Прочность нового автомобиля проверяют краш-тестом: машину на скорости бьют о препятствие и смотрят, уцелел ли манекен в салоне. Повторить опыт с той же машиной нельзя — после удара от неё мало что остаётся, а собирать ради проверки десятки одинаковых автомобилей слишком дорого. Поэтому о надёжности машин, самолётов и поездов многое узнают уже в работе, собирая сведения о поломках и авариях.

Определение. Серия испытаний Бернулли — это последовательность одинаковых независимых испытаний, каждое из которых может окончиться либо успехом, либо неудачей.

Элементарное событие серии.

Проведём три испытания и будем записывать успех буквой У, неудачу — буквой Н. Итог серии — цепочка из трёх букв. Возможных цепочек восемь: УУУ, УУН, УНУ, НУУ, УНН, НУН, ННУ, ННН. Их удобно получить деревом (рис. 1): на каждом шаге путь раздваивается, и после трёх шагов листьев 2 · 2 · 2 = 8.

Испытания независимы, поэтому вероятность цепочки находим правилом умножения: за каждую букву У множитель p, за каждую Н — множитель q = 1 − p.