§ 6. Успех и неудача. Испытания до первого успеха

Ты отправляешь сообщение оттуда, где связь еле держится. Телефон пробует — не вышло; пробует ещё раз — снова не вышло; на четвёртый раз сообщение уходит. Сколько будет таких попыток, заранее не знает никто: может хватить одной, а может понадобиться десяток. Зато вопрос «велика ли надежда уложиться в пять попыток» вполне разумен, и в этом параграфе мы научимся на него отвечать.

Два исхода — и больше ничего.

Начнём с самого простого случайного опыта. Испытанием Бернулли называют опыт, у которого ровно два элементарных события. Монета падает орлом или решкой. Стрелок в тире либо сбивает мишень, либо нет. Избиратель либо голосует за кандидата, либо не голосует. Лампочка при включении либо загорается, либо перегорает. Третьего в таких опытах не дано, и именно этим они удобны. Назван такой опыт в честь Якоба Бернулли, который занимался повторяющимися испытаниями триста лет назад.

Одно из двух событий договариваются называть успехом, второе — неудачей. Слова эти условные, и оценки в них никакой нет: один и тот же гол на последней минуте для одной команды успех, а для другой неудача. Важно лишь заранее сказать, что мы считаем успехом, и потом не менять решение посреди задачи.

Вероятность успеха принято обозначать буквой p, вероятность неудачи — буквой q. Третьего исхода нет, а события эти противоположные, поэтому p + q = 1, откуда q = 1 − p. Договоримся ещё, что оба числа положительны: при p = 0 успеха не будет никогда, при p = 1 он случится сразу, и обсуждать в таком опыте нечего.

Испытанием Бернулли оказывается куда больше опытов, чем кажется на первый взгляд. Пусть на молочном заводе разливают литровые пакеты. При любом массовом производстве объём немного гуляет: где-то на два миллилитра больше, где-то на три меньше. Возьмём наугад один пакет для проверки и назовём успехом событие «объём отличается от литра не больше чем на пять миллилитров». Исходов у измерения бесконечно много, а событий, которые нас интересуют, ровно два: годный пакет и негодный. Сложный опыт свёлся к простому. Так поступают часто: важна не вся картина, а один признак, который либо есть, либо его нет.

Пока не получится.

Теперь главный опыт параграфа. Одно и то же испытание повторяют снова и снова, пока не случится успех; как только он случился, опыт заканчивается. Телефон шлёт сообщение, пока оно не уйдёт. Стрелок стреляет, пока не собьёт мишень. Браузер тянет кусок файла, пока тот не придёт без ошибок. Самолёт осматривают перед каждым вылетом и выпускают в рейс, пока приборы не покажут неисправность, — здесь успехом для проверяющего оказывается как раз находка.

Дальше считаем, что вероятность успеха p во всех испытаниях одна и та же, а сами испытания независимы: прошлые попытки на следующую никак не влияют.

Обозначим успех буквой У, а неудачу буквой Н. Тогда любой возможный ход опыта — это цепочка из нескольких Н, оканчивающаяся одной У: У, затем НУ, затем ННУ, потом НННУ и дальше в том же духе.