§ 5. Выбор точки из отрезка и дуги окружности

Автобус на маршруте ходит каждые двенадцать минут, расписания на остановке нет, а приложение не ловит. Ты приходишь, когда придётся, и ждёшь: может быть, полминуты, а может быть, почти все двенадцать. Предсказать это время нельзя, но спросить, велика ли вероятность прождать меньше трёх минут, вполне разумно. Опыт устроен так же, как выбор точки из фигуры в прошлом параграфе, только выбирают теперь не из прямоугольника, а из промежутка времени — то есть, по существу, из отрезка.

Похожая история — срок службы прибора. Новый телефон ломается реже старого, поэтому по всему сроку службы шансы распределены неравномерно: сломаться на седьмом году куда вероятнее, чем на первом. Но если взять короткий кусок этого срока, скажем один месяц, то внутри него момент поломки можно считать выбранным наугад — никакой день месяца ничем не выделен среди остальных.

Разберёмся с самим опытом. Из отрезка MN наугад берут точку X. Элементарными событиями здесь служат все точки отрезка, и их, как и у фигуры на плоскости, бесконечно много. У отдельной точки нет длины, поэтому вероятность вытянуть заранее отмеченную точку равна нулю: событие возможно, но вероятность у него нулевая. Значит, складывать вероятности элементарных событий по-прежнему бессмысленно — все слагаемые нули, и нужен другой измеритель. Для фигуры на плоскости им была площадь; для отрезка её место занимает длина.

Правило геометрической вероятности на отрезке. Точку X берут наугад из отрезка MN, а отрезок CD лежит внутри MN. Тогда вероятность того, что точка X принадлежит отрезку CD, равна отношению длин: P(CD) = CD : MN. Само событие удобно называть той же парой букв, что и отрезок, — событие CD. Полученное число не бывает отрицательным и не бывает больше единицы: длина части не превосходит длины целого, как и полагается вероятности.

Пример 1. Дано: длина отрезка MN равна 10 см, внутри него отмечен отрезок CD длиной 3 см (рис. 1), из MN наугад берут точку X. Найти вероятность события CD. Решение. Делим длину части на длину целого. Ответ: 3 : 10 = 0,3. Заметь, что место отрезка CD внутри MN — у самого края или посередине — в вычислении нигде не участвовало. Как и с площадями, важна только величина, а не расположение и не то, как эта величина набрана.