§ 4. Выбор точки из фигуры на плоскости

Экран смартфона набран из крошечных светящихся точек — пикселей, и их там больше миллиона. Иногда один пиксель перегорает, и на любой картинке в этом месте остаётся чёрная крапинка. Какой именно откажет, предсказать нельзя, а вот спросить, велика ли вероятность, что чёрная точка окажется в верхней четверти экрана, вполне разумно. Перебирать миллион пикселей по одному никто не станет: удобнее забыть про сетку и считать, что из прямоугольника экрана наугад берут одну-единственную точку.

Опыт «берём наугад точку фигуры» устроен не так, как бросание монеты или кубика. Элементарные события здесь — сами точки, и их бесконечно много. Приписать каждой точке хоть какое-нибудь положительное число нельзя: сложив бесконечно много одинаковых положительных чисел, мы получили бы не единицу, а бесконечность. Значит, вероятность вытянуть заранее отмеченную точку равна нулю — и при этом такое событие вовсе не невозможно, ведь какая-то точка обязательно будет выбрана. Мы впервые встречаем событие, у которого вероятность нулевая, а произойти оно всё-таки может. Складывать вероятности элементарных событий, как мы делали с монетами и кубиками, здесь бессмысленно: все слагаемые нули. Нужен другой измеритель.

Измеритель подсказывает сам чертёж. Пусть на плоскости лежит фигура F, площадь которой больше нуля, а внутри неё — фигура G, и точку берут из F. Мы хотим, чтобы шансы у всех точек были равные. Тогда ни форма фигуры G, ни её место внутри F на ответ влиять не должны, и остаётся единственная величина, которая шансы задаёт, — площадь.

Правило геометрической вероятности. Точку выбирают из фигуры F. Вероятность того, что она окажется в фигуре G, лежащей внутри F, равна отношению площадей: P = S(G) : S(F). Здесь S(F) — площадь всей фигуры, S(G) — площадь её части.

Вернёмся к пиксельному экрану, с которого начали. Экран — прямоугольник, верхняя четверть — тоже прямоугольник, вчетверо меньшей площади, поэтому сгоревший пиксель окажется в ней с вероятностью 1 : 4. Ни размер экрана в дюймах, ни число пикселей для этого ответа не понадобились.