§ 14. Математическое ожидание и дисперсия числа успехов и частоты успеха в серии испытаний Бернулли

Сколько успехов ждать?

Серия испытаний Бернулли — это n одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых успех наступает с вероятностью p, а неудача — с вероятностью q = 1 − p. Сколько успехов выпадет на этот раз, заранее не знает никто: число успехов — величина случайная, и обозначают её обычно буквой S. Вероятность любого её значения даёт формула Бернулли: P(S = k) = Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ.

Распределение знает о величине всё, но пользоваться им неудобно: у серии из двадцати пяти испытаний в таблице распределения двадцать шесть столбцов (рис. 1). А спрашивают обычно короче: сколько успехов ждать и насколько результат может от этого числа отойти. Ровно на эти два вопроса отвечают математическое ожидание и дисперсия.

Теорема.

Пусть проведено n испытаний Бернулли, успех в каждом наступает с вероятностью p, а S — число успехов. Тогда ES = np, DS = npq. Стандартное отклонение — корень из дисперсии, поэтому √DS = √npq.

Доказательство мы не приводим, но простейший случай стоит проверить. При n = 1 величина S принимает всего два значения: 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью q. Её ожидание равно p, а дисперсия равна pq — это разобрано в прошлом параграфе. Теорема утверждает, что за n испытаний оба числа просто умножаются на n. С ожиданием это видно и без выкладок: если монету бросают 100 раз, орлов ждут около половины, то есть 100 · 0,5 = 50.

Пример 1. Дано: стрелок делает 25 выстрелов, вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8; S — число попаданий. Найти ES, DS и стандартное отклонение числа попаданий. Решение. Выстрелы независимы и одинаковы, поэтому перед нами серия испытаний Бернулли, у которой n = 25, p = 0,8 и q = 0,2 (рис.