§ 13. Дисперсия и стандартное отклонение

Одного числа мало.

Два игровых автомата начисляют баллы. X — число баллов за игру у первого автомата, Y — у второго. Математические ожидания у них одинаковые: EX = EY = 7,5 балла. Но играют автоматы по-разному: у первого попадаются и 5 баллов, и 10, а второй почти всегда даёт 7 или 8 (рис. 1). Математическое ожидание этой разницы не замечает — оно у обоих одно и то же. Нужна вторая характеристика: насколько сильно значения разбросаны вокруг ожидания.

В описательной статистике такие характеристики уже встречались — дисперсия и стандартное отклонение числового набора. У случайной величины они устроены точно так же, только вместо частот в дело идут вероятности.

Отклонение и его квадрат.

Отклонение случайной величины от среднего — это разность X − EX. Она тоже случайная величина: у каждого значения X своё отклонение. Казалось бы, достаточно усреднить само отклонение, то есть найти E(X − EX). Но это среднее всегда равно нулю: положительные и отрицательные отклонения уравновешивают друг друга, ведь EX и есть точка равновесия диаграммы. Поэтому отклонение сначала возводят в квадрат: квадрат неотрицателен, и большое отклонение в любую сторону даёт большой вклад.

Определение. Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от её математического ожидания: DX = E(X − EX)². Пишут DX или D(X) — скобки ставят только там, где без них непонятно. Словами: дисперсия — это средний квадрат отклонения величины от своего среднего.

Как её считают.

По таблице распределения — в четыре шага: найти EX; выписать отклонение каждого значения; возвести отклонения в квадрат; умножить квадраты на вероятности и сложить.

Пример 1.