§ 12. Математическое ожидание случайной величины

Распределение из прошлого параграфа говорит о случайной величине всё, но целую таблицу трудно держать в голове и неудобно сравнивать с другой таблицей. Хочется одного числа, которое показывает, вокруг чего колеблются значения величины. Такое число есть — это математическое ожидание.

Откуда берётся формула.

Вспомним, как находят среднее арифметическое набора, когда известны частоты значений: каждое значение умножают на его частоту и произведения складывают. Например, в наборе оценок 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 3 тройка встретилась с частотой 0,2, четвёрка — с частотой 0,3, пятёрка — с частотой 0,5, и среднее равно 3 · 0,2 + 4 · 0,3 + 5 · 0,5 = 0,6 + 1,2 + 2,5 = 4,3.

У случайной величины набора ещё нет: опыт не проводился. Зато вместо частот нам известны вероятности. Сделаем с ними то же самое — умножим каждое значение на его вероятность и сложим.

Определение. Математическое ожидание случайной величины — это сумма произведений значений этой величины и их вероятностей. Обозначение — EX или E(X): EX = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ + ... + xₙpₙ, где x₁, x₂, …, xₙ — значения величины X, а p₁, p₂, …, pₙ — вероятности этих значений (рис. 1).

Буква E — первая в английском слове expectation, «ожидание»; её пишут прямым шрифтом, не наклонным. Другие имена математического ожидания — ожидаемое значение и среднее значение величины. Единицы у него те же, что у самой величины: ожидание выигрыша считают в рублях, ожидание времени в пути — в минутах.

Пример 1. Игральная кость. Дано: X — число очков при одном броске кости; каждое значение от 1 до 6 имеет вероятность 1/6. Найти EX. Решение. EX = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + … + 6 · 1/6 = 21/6 = 3,5, ведь сумма очков на всех шести гранях равна 21. Ответ: 3,5.

Трёх с половиной очков на кости не бывает. Математическое ожидание не обязано совпадать ни с одним значением величины: это не «то, что выпадет», а центр, вокруг которого группируются значения.

Когда все n значений равновероятны, у каждого вероятность 1/n, и формула превращается в обычное среднее арифметическое значений: EX = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n. Если к тому же значения — подряд идущие целые числа, они стоят симметрично вокруг середины, и EX равно полусумме крайних. Например, для величины, которая с равными вероятностями принимает все целые значения от 3 до 11, EX = (3 + 11)/2 = 7.