§ 11. Распределение вероятностей случайной величины

Случайная величина принимает разные значения, но одни из них выпадают охотно, а другие — редко. Чтобы описать величину полностью, мало перечислить её значения: к каждому нужно приписать вероятность.

Что такое распределение.

Определение. Распределение вероятностей случайной величины (коротко — распределение) — это закон, по которому каждому значению величины сопоставлена вероятность того, что величина примет именно это значение.

Запись (X = 5) обозначает событие «величина X приняла значение 5», а P(X = 5) — вероятность этого события. Так же пишут (X = −4), (X ≥ 2), (1 < X < 4): в скобках стоит условие на значение величины, и каждое такое условие задаёт случайное событие.

Задать распределение можно по-разному: таблицей, столбиковой диаграммой, формулой и даже словами — лишь бы из описания была однозначно понятна вероятность каждого значения.

Пример 1. Игральная кость.

Y — число очков при одном броске кости. Значений шесть, все они равновозможны, поэтому каждому достаётся одна шестая доля вероятности (рис. 1). Здесь вероятность делится между значениями поровну.

Как по распределению найти вероятность события? Надо отобрать значения, которые подходят под условие, и сложить их вероятности. Событию (Y ≥ 5) подходят значения 5 и 6, значит, P(Y ≥ 5) = 1/6 + 1/6 = 1/3. Событию (2 ≤ Y ≤ 5) подходят четыре значения, и его вероятность равна 4/6 = 2/3.

Пример 2. Пять бросков монеты.

S — число выпавших орлов, оно принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 и 5. Пять бросков — серия испытаний Бернулли с вероятностью успеха 1/2, поэтому по формуле Бернулли P(S = k) = C₅ᵏ / 2⁵ = C₅ᵏ / 32: все 2⁵ = 32 серии равновероятны, а ровно k орлов содержат C₅ᵏ из них. Числа сочетаний из пяти равны 1, 5, 10, 10, 5 и 1 — отсюда таблица распределения на рис.