§ 15. Закон больших чисел и его применение

Откуда берут вероятность

Про симметричную монету мы говорим уверенно: вероятность орла равна 0,5. Про игральную кость — что каждая грань выпадает с вероятностью 1/6. Так рассуждать позволяет симметрия: у монеты и кости нет грани, которой было бы «удобнее» выпасть.

А теперь другие вопросы. С какой вероятностью зашедший в магазин покупатель что-нибудь купит? С какой вероятностью стиральная машина проработает пять лет без ремонта? С какой вероятностью случайный избиратель проголосует за кандидата К? Никакой симметрии здесь нет, вычислять вероятность не из чего. Её приходится измерять — как измеряют длину или массу.

Прибор для такого измерения у нас уже есть. Это частота: доля опытов, закончившихся успехом. Почему частоте можно верить, объясняет закон больших чисел.

Закон больших чисел.

При многократном повторении одного и того же опыта частота события становится близка к вероятности этого события.

Почему так получается

Повторяющиеся независимые опыты — это серия испытаний Бернулли. Пусть опытов n, вероятность успеха в каждом равна p, вероятность неудачи q, число успехов равно S, а частота успеха F = S/n. В прошлом параграфе мы нашли про эту частоту два факта: EF = p, √DF = √(pq/n). Первое равенство говорит, что частота не промахивается «в одну сторону»: в среднем она даёт ровно вероятность. Второе — что разброс частоты вокруг p с ростом числа опытов сжимается: n стоит под корнем в знаменателе, и при больших n стандартное отклонение частоты близко к нулю. Величина, у которой среднее равно p, а разброс почти нулевой, почти наверняка окажется около p. Это и есть закон больших чисел.

Пример 1. Дано: IT-компания устраняет сбои в компьютерной сети заказчика. Успех — сбой устранён меньше чем за 8 часов. Среди первых 200 сбоев успешными оказались 142, среди следующих 200 — 98. Найти: частоту успеха в каждой серии и в объединённой серии из 400 сбоев. Решение. В первой серии F₁ = 142 : 200 = 0,71, во второй F₂ = 98 : 200 = 0,49. В объединённой серии считают не среднее этих двух чисел, а долю успехов среди всех опытов: (142 + 98) : 400 = 240 : 400 = 0,6. Ответ: 0,71; 0,49 и 0,6.

Компания не остановилась на 400 сбоях. На рисунке 1 показаны 12 серий по 200 сбоев подряд. Частота отдельной серии прыгает от 0,49 до 0,71 — почти на четверть. А накопленная частота, которая считается сразу по всем проведённым опытам, после первых скачков почти не двигается: на 2400 опытах она равна 0,603.