§ 9. Опыты с равновозможными элементарными событиями

В прошлых параграфах мы научились двум вещам: выписывать элементарные события опыта и отбирать среди них те, что благоприятствуют нужному событию. А ещё мы знаем: если у опыта N элементарных событий и все они равновозможны, то вероятность каждого из них равна 1/N. Соединим эти умения — и вероятность любого события в таком опыте будет находиться простым подсчётом, без долгих серий испытаний.

Пример 1. Дано: правильную игральную кость бросают два раза. Найти вероятность события A «сумма выпавших очков больше 8». Решение. Элементарное событие здесь — упорядоченная пара (очки первого броска; очки второго броска). Таких пар 36, и все они равновозможны, поэтому вероятность каждой пары равна 1/36. Отметим в таблице пары, где сумма равна 9, 10, 11 или 12 (рис. 1). Сумму 9 дают четыре пары, сумму 10 — три, сумму 11 — две, сумму 12 — одна: всего десять клеток. Вспомним (§ 8): вероятность события равна сумме вероятностей благоприятствующих ему элементарных событий. Значит, P(A) = 1/36 + 1/36 + ... + 1/36 = 10/36 = 5/18. Ответ: 5/18.

Число элементарных событий, благоприятствующих событию A, обозначают N(A). В примере 1 N(A) = 10, а N = 36. Слагаемых вида 1/N в сумме ровно столько, сколько благоприятствующих исходов, то есть N(A), поэтому сумма равна N(A)/N. Рассуждение не зависит ни от кости, ни от выбранного события, и мы получаем общее правило.

Правило. Пусть у случайного опыта конечное число элементарных событий и все они равновозможны. Тогда вероятность события A находят, деля число благоприятствующих ему элементарных событий на число всех элементарных событий опыта: P(A) = N(A) / N.

Например, при одном броске кости событию «выпало больше 4 очков» благоприятствуют только исходы 5 и 6, поэтому его вероятность равна 2/6 = 1/3.

Из правила видны и границы. N(A) не бывает меньше нуля и больше N, поэтому вероятность любого события лежит между 0 и 1. Невозможному событию не благоприятствует ни один исход: P = 0/N = 0. Достоверному благоприятствуют все: P = N/N = 1.