§ 6. Вероятности элементарных событий. Равновозможные элементарные события

Мы уже умеем перечислять элементарные события опыта. Теперь научимся приписывать каждому из них число — вероятность. Раньше вероятность мы оценивали на глаз или по частоте, а в этом параграфе появляются правила, по которым числа назначают сразу всему списку исходов.

Единица на весь опыт. Опыт можно рассматривать и как одно большое событие: «опыт проведён и чем-то кончился». Это событие достоверное — оно наступает непременно, ведь без результата опыт не остаётся. Достоверному событию приписывают самое большое из возможных значений вероятности — единицу. Дальше эту единицу мы делим между элементарными событиями, как делят пирог: у каждого своя доля, а вместе доли составляют весь пирог, и ничего не остаётся.

Два правила. Из такого взгляда следуют два требования к вероятностям элементарных событий.

Первое: отрицательных вероятностей не бывает. Доля пирога может быть крошечной, но «минус кусок» никому не достанется.

Второе: сложив вероятности всех элементарных событий опыта, обязательно получим единицу. Причина простая: в каждом проведении опыта наступает ровно одно элементарное событие, мимо списка результат уйти не может, значит, весь пирог поделён без остатка. Для опыта с тремя элементарными событиями a, b, c это записывают так: P(a) + P(b) + P(c) = 1. На рисунке 1 та же мысль показана полосой длиной 1, разрезанной на три доли.

Пример 1. Дано: опыт кончается одним из трёх элементарных событий a, b, c, причём P(a) = 0,5 и P(b) = 0,2. Найти P(c). Решение. Третья доля — это то, что осталось от единицы после первых двух: P(c) = 1 − 0,5 − 0,2 = 0,3. Ответ: 0,3.

Откуда взялось второе правило. Оно не выдумано, а списано с частот. Повторим опыт N раз и посчитаем, сколько раз наступило каждое элементарное событие: пусть a наступило N(a) раз, b — N(b) раз, c — N(c) раз. Частота каждого — это своя доля от общего числа опытов: N(a)/N, N(b)/N и N(c)/N. Сложим три дроби: в числителе окажется N(a) + N(b) + N(c), а это и есть N, потому что каждый опыт добавил единицу ровно одному слагаемому. Сумма частот равна N/N, то есть единице, — и так при любом числе повторений. Вероятности устроены так же.

Пример 2. Дано: опыт повторили 200 раз; элементарное событие a наступило 60 раз, b — 80 раз, а в остальных случаях наступало c. Найти частоту события c. Решение. Остальных случаев было 200 − 60 − 80 = 60, поэтому частота c равна 60/200 = 0,3.