Главная → Уроки → Вероятность и статистика 8 класс
§ 26. Независимые события
Прочитай параграф о независимых событиях: почему независимость означает, что условная вероятность равна обычной, откуда берётся равенство «вероятность пересечения равна произведению вероятностей», как проверить независимость по таблице исходов и почему несовместные события, наоборот, зависимы, — и ответь на десять вопросов.
Условная вероятность научила нас пересчитывать шансы, когда о случайном опыте что-то стало известно. Иногда такая новость меняет оценку сильно, иногда не меняет её вовсе. Второй случай и есть тема параграфа.
Когда новость меняет оценку
Бросаем одну игральную кость. До всяких подсказок шестёрка и тройка равноправны, у каждой вероятность 1/6. Теперь пусть нам сказали, что очков выпало больше четырёх, — сами мы бросок не видели. Подходят только два исхода, 5 и 6, поэтому условная вероятность шестёрки выросла до 1/2, а тройка вообще стала невозможной, её условная вероятность равна нулю. Новость переписала обе оценки: эти события связаны друг с другом.
Так бывает не всегда. Возьмём два броска кости подряд. Сколько очков выпало в первый раз, о втором броске не говорит ничего: кость не помнит прошлого результата и бросается заново. Про такие события и говорят, что они независимы.
Определение через произведение
Независимость естественно понимать так: наступление одного события не меняет оценки другого. Это значит, что условная вероятность совпадает с обычной: P(A | B) = P(A); в другую сторону верно то же самое, P(B | A) = P(B). Вспомним теперь правило умножения: вероятность пересечения равна вероятности первого события, умноженной на условную вероятность второго. Заменим в нём условную вероятность обычной — получится короткая запись, где условных вероятностей уже нет.
Дальше — в приложении
Полный пересказ по учебнику «Вероятность и статистика 8 класс», тест из большого пула вопросов и разбор ошибок с ИИ-репетитором. За сданный тест ребёнок получает экранное время — родители задают, сколько минут стоит урок.
Пройти урок бесплатноКак это работаетВопросы из теста
Правильные ответы и разбор ошибок — в приложении: при пересдаче вопросы меняются, поэтому списать не получится.
Какое равенство означает, что события A и B независимы?
- P(A ∩ B) = P(A) + P(B)
- P(A ∩ B) = 0
- P(A ∪ B) = P(A) · P(B)
- P(A) + P(B) = 1
- P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
- P(A | B) = P(B | A)
События A и B несовместны, причём P(A) = 0,5, а P(B) = 0,3. Независимы ли эти события?
- да: несовместные события всегда независимы
- да, потому что 0,5 + 0,3 = 0,8, а это меньше единицы
- да: одно из них ничего не говорит о другом
- нет: произведение равно 0,8, а нужен ноль
- нельзя сказать: для ответа не хватает вероятности объединения этих двух событий
- нет: вероятность пересечения 0, а произведение 0,15