§ 21. Объединение и пересечение событий

Случайное событие — это набор элементарных событий опыта: мы отмечаем те исходы, при которых считаем событие наступившим, и все они образуют одну группу. А раз событие есть набор, то с двумя событиями можно поступать как с двумя наборами предметов: ссыпать их вместе или посмотреть, что у них общего. Ровно эти две операции параграф и разбирает.

Опыт возьмём такой: из класса наугад вызывают одного ученика. Событие A — «вызванный ходит в бассейн», событие B — «вызванный ходит на шахматы». Каждое событие собрало свою группу учеников, и группы могут накладываться друг на друга: кто-то успевает всюду.

Объединение событий

Объединение событий A и B записывают A∪B. Ему благоприятствует каждое элементарное событие, попавшее хотя бы в один из двух наборов: в A, в B или сразу в оба. Словами объединение почти всегда описывают оборотом «наступило хотя бы одно из двух» — в нашем опыте A∪B означает «вызванный ходит хотя бы в один из этих кружков».

Про «сразу в оба» сказано не зря, это первая ловушка темы. В обычной речи «или» часто понимают как «одно, но не другое»: «в субботу пойду в кино или на каток» — что-то одно. В математике союз «или» ничего не отбрасывает, и пловец-шахматист объединению тоже благоприятствует. Знакомый по § 18 союз «или» и знак ∪ означают здесь одно и то же.

Пересечение событий

Пересечение событий A и B записывают A∩B. Ему благоприятствуют только те элементарные события, которые попали в оба набора одновременно. Словами это «наступили оба события сразу»: вызванный ученик ходит и в бассейн, и на шахматы. Пересечение никогда не бывает больше любого из двух событий — из набора A мы часть исходов выбрасываем, а новых не добавляем. Отсюда следствие для вероятностей: P(A∩B) ≤ P(A) и P(A∩B) ≤ P(B).