§ 19. Отрицание сложных утверждений

Отрицание отдельного утверждения строится легко: у «сегодня среда» отрицанием будет «сегодня не среда», у «число 7 чётное» — «число 7 нечётное». Отрицание переворачивает истинность: когда утверждение истинно, его отрицание ложно, и наоборот; вместе они не бывают истинными и вместе не бывают ложными. Но в прошлом параграфе утверждения научились соединяться логическими союзами «и» и «или», и сразу появился вопрос потруднее: как построить отрицание к сложному утверждению? Ответ не сводится к тому, чтобы приписать «не» ко всей фразе или к каждой её части. Здесь ошибаются чаще всего, поэтому разберём оба союза по очереди. Правила этого параграфа пригодятся дальше, в главе о случайных событиях: там из них вырастет правило для противоположного события.

Отрицание утверждения с союзом «и»

Возьмём утверждение: «Сегодня воскресенье и библиотека открыта». Чтобы оно оказалось истинным, нужны сразу два условия — и нужный день недели, и открытая дверь. А что должно случиться, чтобы оно стало ложным? Достаточно, чтобы подвела хотя бы одна часть. Сегодня понедельник — утверждение уже ложно, даже если библиотека работает. Библиотека закрыта — тоже ложно, даже если на календаре воскресенье. Ну и, конечно, может не совпасть ни то ни другое. Значит, отрицание звучит так: «(сегодня не воскресенье) или (библиотека закрыта)».

Посмотрите внимательно, что произошло. Отрицание добавилось к каждой части, а союз «и» сменился союзом «или». Менять союз обязательно — это главная мысль параграфа.

Отрицание утверждения «А и В» — это утверждение «(не А) или (не В)».

Проверить правило можно перебором: наборов значений у двух утверждений всего четыре, потому что каждое бывает либо истинным, либо ложным. Выпишем их в таблицу и посчитаем два последних столбца — «не (А и В)» и «(не А) или (не В)» (рис. 1). Столбцы совпали строка в строку: и там и там ложь стоит только в первой строке, где истинны обе части. Совпали столбцы — значит, это одно и то же утверждение, и правило не выдумано, а проверено.