§ 18. Логические союзы «и» и «или»

Отдельное утверждение мы уже умеем проверять на истинность: «в неделе семь дней» — истинное высказывание, «в году четырнадцать месяцев» — ложное. Но ни в жизни, ни в математике утверждения не ходят поодиночке. Их связывают словами «и», «или», получая сложные утверждения, истинность которых зависит от истинности частей. Разберёмся, по каким правилам это происходит: в главе о случайных событиях ровно эти два союза превратятся в пересечение и объединение событий.

Союз «и»

Возьмём два утверждения про число 8: А — «8 делится на 4», В — «8 делится на 3». Первое истинно, второе ложно. Соединим их союзом «и»: «(8 делится на 4) и (8 делится на 3)». Получилось ложное высказывание: оно обещает восьмёрке сразу два свойства, а второго у неё нет.

Сложное утверждение «А и В» истинно тогда и только тогда, когда истинны обе его части. Одной ложной части хватает, чтобы всё утверждение стало ложным.

Все случаи удобно выписать в таблицу — их всего четыре, потому что каждая часть бывает либо истинной, либо ложной (рис. 1). Истину даёт только одна строка из четырёх.

Союз «или»

Те же два утверждения соединим словом «или»: «(8 делится на 4) или (8 делится на 3)». Теперь высказывание истинное — первая часть верна, а большего союз «или» и не требует.

Сложное утверждение «А или В» истинно тогда и только тогда, когда истинна хотя бы одна его часть.

Слова «хотя бы одна» стоит расшифровать, иначе здесь легко ошибиться. Они значат: верна только А; или верна только В; или верны обе сразу. Ложным «А или В» бывает в единственном случае — когда ложны обе части (рис. 2). Сравните таблицы: у союза «и» истинная строка одна, у союза «или» их три.

В обычной речи «или» звучит строже.