Главная → Уроки → Вероятность и статистика 8 класс

§ 13. Стандартное отклонение числового набора

Прочитай параграф о стандартном отклонении: почему дисперсию неудобно измерять в квадратах единиц, как извлечь из неё корень и вернуться к единицам данных, что показывает отрезок «среднее плюс-минус одно стандартное отклонение», как S меняется при сдвиге и умножении набора и зачем его считают при контроле качества, — и ответь на 10 вопросов.

Таблица «Дорога до школы: 15, 9, 13, 11, 12 мин» из трёх столбцов. Значения 15, 9, 13, 11, 12; отклонения 15 − 12 = 3, 9 − 12 = −3, 13 − 12 = 1, 11 − 12 = −1, 12 − 12 = 0; квадраты отклонений 3² = 9, (−3)² = 9, 1² = 1, (−1)² = 1, 0² = 0. Предпоследняя строка: среднее x̄ = 12 мин, сумма отклонений 0, сумма квадратов 20. Нижняя строка: дисперсия 20 : 5 = 4 мин², S = √4 = 2 мин
Рис. 1. От значений к дисперсии, от дисперсии — к стандартному отклонению

Дисперсия хорошо измеряет рассеивание: чем дальше в целом числа от своего среднего, тем она больше. Но пользоваться ею неудобно, и мешает одна на первый взгляд мелочь — единицы измерения. Среднее арифметическое, медиана, размах измеряются в тех же единицах, что и сами данные: если время в пути записано в минутах, то и среднее время получится в минутах. А дисперсия — это среднее квадратов отклонений, поэтому она измеряется в квадратах единиц: в квадратных минутах, в квадратных градусах, в квадратных граммах. Звучит это курьёзно, но дело не только в звучании: такое число не с чем сравнить. Дисперсия 4 мин² не отвечает на вопрос «на сколько минут время в пути обычно отклоняется от среднего», и отложить её на той же прямой, где стоят сами данные, тоже нельзя.

Выход простой: из дисперсии надо извлечь квадратный корень. Квадратные минуты снова станут минутами, и получившееся число можно будет сравнивать с данными напрямую.

Определение. Стандартным отклонением числового набора называется квадратный корень из дисперсии этого набора.

Обозначают стандартное отклонение буквой S — той же, что и дисперсию, только без квадрата: дисперсия набора — S², стандартное отклонение — S. Формула получается прямо из формулы дисперсии: S = √(((x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n). Годится и короткая формула: S = √(средний квадрат − квадрат среднего). Считать по ней быстрее, когда среднее выходит дробным.

Стандартное отклонение — это среднее отклонение чисел набора от их среднего арифметического. Слово «среднее» здесь не значит «среднее арифметическое»: сами отклонения в сумме дают ноль, и их среднее арифметическое равно нулю у любого набора, хоть у тесного, хоть у разбросанного. Мы сначала возвели отклонения в квадрат, усреднили квадраты и только потом извлекли корень. Такое среднее называют средним квадратичным, поэтому полное название S — среднее квадратичное отклонение.

Пример 1. Дано: пять дней подряд Аня записывала, сколько минут занимала дорога до школы: 15, 9, 13, 11, 12. Найти стандартное отклонение этого набора. Решение. Шаг 1. Среднее: (15 + 9 + 13 + 11 + 12) : 5 = 60 : 5 = 12 мин.

Дальше — в приложении

Полный пересказ по учебнику «Вероятность и статистика 8 класс», тест из большого пула вопросов и разбор ошибок с ИИ-репетитором. За сданный тест ребёнок получает экранное время — родители задают, сколько минут стоит урок.

Пройти урок бесплатноКак это работает

Вопросы из теста

Правильные ответы и разбор ошибок — в приложении: при пересдаче вопросы меняются, поэтому списать не получится.

Что называют стандартным отклонением числового набора?

Массу шоколадных плиток измерили в граммах. В каких единицах измеряются дисперсия и стандартное отклонение этого набора?

← § 12. Дисперсия числового набора§ 14. Диаграммы рассеивания →