§ 12. Дисперсия числового набора

В прошлом параграфе мы выяснили, что отклонения чисел от среднего арифметического в сумме всегда дают ноль. Значит, и среднее отклонений у любого набора равно нулю — хоть у тесного, хоть у разбросанного. Чтобы знаки не гасили друг друга, мы брали модули — абсолютные отклонения. Есть и другой способ избавиться от минуса: возвести каждое отклонение в квадрат. Квадрат любого числа неотрицателен, а чем дальше число от среднего, тем больше квадрат его отклонения. Осталось усреднить квадраты — и получится одно число, которое описывает рассеивание всего набора. Его назвали дисперсией, от латинского dispersio — «разброс, рассеивание».

Определение. Среднее арифметическое квадратов отклонений чисел от их среднего арифметического называется дисперсией набора чисел.

Короче её называют средним квадратом отклонений. Чем дальше в целом числа от своего среднего, тем больше дисперсия.

Как считать по таблице. Вычисления удобно записывать в таблицу из трёх столбцов (рис. 1): значения, их отклонения и квадраты отклонений.

Пример 1. Дано: набор 7, 2, 5, 10, 6. Найти его дисперсию. Решение. Шаг 1. Среднее: (7 + 2 + 5 + 10 + 6) : 5 = 30 : 5 = 6. Шаг 2. Отклонения: 7 − 6 = 1; 2 − 6 = −4; 5 − 6 = −1; 10 − 6 = 4; 6 − 6 = 0. Проверка: 1 − 4 − 1 + 4 + 0 = 0, так и должно быть. Шаг 3. Квадраты отклонений: 1, 16, 1, 16, 0. Шаг 4. Их среднее: (1 + 16 + 1 + 16 + 0) : 5 = 34 : 5 = 6,8. Ответ: 6,8.

Обратите внимание на третий шаг: квадрат отрицательного отклонения положителен, (−4)² = 16, а не −16. Поэтому в сумме квадратов нет отрицательных слагаемых, и ничто ничего не гасит.

Пример 2. Возьмём набор 5, 6, 7, 6, 6. Его сумма тоже 30, среднее тоже 6. Отклонения −1, 0, 1, 0, 0, их квадраты 1, 0, 1, 0, 0, дисперсия (1 + 0 + 1 + 0 + 0) : 5 = 2 : 5 = 0,4. Средние у двух наборов равны, а дисперсии различаются в 17 раз. На рис. 2 видно почему: во втором наборе все числа стоят вплотную к шестёрке, а в первом два числа отошли от неё на 4. Чем кучнее числа, тем меньше дисперсия; чем сильнее они разбросаны, тем она больше.

Обозначение и формула. Дисперсию обозначают S². Если нужно подчеркнуть, к какому набору она относится, букву набора пишут внизу: например, S²ₓ — дисперсия набора X. Для набора x₁, x₂, …, xₙ со средним x̄ формула такая: S² = ((x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n. Квадрат в обозначении напоминает, что складываются квадраты. Отсюда и единица измерения — квадрат единицы данных.