§ 11. Рассеивание числовых данных и отклонения

Среднее арифметическое и медиана отвечают на вопрос «где находятся данные»: вокруг какого числа они собрались, велики они или малы. Но у двух наборов с одним и тем же средним устройство бывает совсем разным. В одном числа тесно прижаты друг к другу, в другом разбросаны далеко в обе стороны. Это свойство называют рассеиванием, или изменчивостью, а числа, которые его описывают, — мерами рассеивания. Меры рассеивания показывают, насколько далеко значения набора уходят от своего центра.

Размах и его слабость. Одну меру рассеивания мы уже знаем — размах, то есть разность наибольшего и наименьшего значений. Считать его легко, но он смотрит только на два крайних числа, а они часто оказываются случайными, нетипичными или даже ошибочными. Все остальные значения размах просто не замечает.

На рис. 1 изображены два набора по девять чисел. Набор А: 1, 2, 2, 3, 9, 15, 16, 16, 17. Набор Б: 1, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 17. Сумма чисел каждого набора равна 81, поэтому среднее у обоих одно: 81 : 9 = 9. Размах тоже один: 17 − 1 = 16. И всё же наборы не похожи. В наборе А почти все числа ушли к краям, а посередине осталась одна девятка. В наборе Б, наоборот, числа сбились в кучку около девятки, а у краёв лишь два одиноких значения. Рассеивание у набора А явно больше, а размах этого не видит.

Пример 1. Катя и Дима живут в одном подъезде и учатся в одной школе, уроки начинаются в 8:30. Катя каждое утро выходит в 8:00 и идёт пешком. Дима выходит в 8:05 и едет две остановки на трамвае. В восемь случайно выбранных дней записали, сколько минут у каждого заняла дорога (рис. 2). Катя: 18, 17, 18, 19, 18, 26, 17, 19. Дима: 9, 21, 12, 15, 24, 10, 13, 16. Средние: у Кати (18 + 17 + 18 + 19 + 18 + 26 + 17 + 19) : 8 = 152 : 8 = 19 мин, у Димы 120 : 8 = 15 мин. Трамвай в среднем экономит четыре минуты. Но посмотрите на сами числа: у Кати почти каждый день 17–19 минут, а время Димы скачет от 9 до 24 минут. Почему так? Дорога Димы складывается из нескольких случайных слагаемых: сколько ждать трамвая на остановке, не застрял ли он у светофора или в пробке. Время Кати зависит лишь от её шага, а он почти не меняется. Один-единственный раз, в шестой день, дорога заняла у неё 26 минут — может быть, Катя остановилась поговорить с подругой.

Чем это важно на деле? Чтобы спокойно разложить учебники, в школу надо войти не позже 8:20. Катя входит в 8:17–8:19 и успевает в 7 днях из 8; не успела она только в тот раз, когда шла 26 минут. Дима при выходе в 8:05 должен доехать не дольше чем за 15 минут, а так было лишь в 5 днях из 8.