§ 14. Диаграммы рассеивания

До сих пор мы почти всегда работали с одной величиной: рост, отметка, температура, время в пути. Мы искали среднее, медиану, размах, отклонения и дисперсию — и всё это описывало один-единственный числовой набор. Но самые интересные вопросы начинаются там, где величин две и обе измерены у одного и того же объекта. Правда ли, что человек повыше обычно и потяжелее? Быстрее ли бегает тот, кто дальше прыгает? Меняется ли давление у больного оттого, что поднялась температура? Ответить на такие вопросы помогает особая картинка — диаграмма рассеивания.

Пара чисел вместо одного

Слово, которое здесь всё определяет, — «совместно». Мы не берём отдельно список ростов и отдельно список масс. Мы подходим к одному юноше, измеряем у него сразу обе величины и записываем их рядом: 167 сантиметров и 62 килограмма. Получилась пара чисел, и относится она к одному человеку. Разрывать пару нельзя: стоит перепутать, чей рост стоит рядом с чьей массой, и все дальнейшие выводы рассыплются.

Пару чисел удобно считать адресом точки на плоскости. Договоримся так: первое число пары откладываем по горизонтальной оси, второе — по вертикальной. Тогда каждой паре отвечает ровно одна точка, а каждому объекту — ровно одна точка.

Порядок чисел в паре тоже не случаен: пара «167 и 62» и пара «62 и 167» — это разные адреса. Первое число всегда идёт по горизонтали, второе по вертикали, и, договорившись однажды, менять договорённость посреди работы нельзя. Впрочем, какую из двух величин поставить первой, решаем мы сами: можно отложить по горизонтали рост, а можно массу. Облако при этом отразится, как в зеркале, относительно прямой, проведённой из начала координат под углом 45 градусов, а вывод о связи не изменится.

Вот здесь и подстерегает первая ошибка. Пятнадцать юношей дадут пятнадцать точек, хотя чисел мы выпишем тридцать. Точек столько, сколько объектов, а вовсе не столько, сколько чисел в таблице. Проверять себя удобно так: сосчитайте, сколько раз вы подходили с измерительной лентой к человеку, — столько точек и будет.

Строим диаграмму по таблице

Возьмём готовые измерения. У пятнадцати юношей измерили рост в сантиметрах и массу в килограммах; данные собраны в таблицу 1 на рис. 1.

Дано: пятнадцать пар «рост — масса». Требуется: построить диаграмму рассеивания и понять, связаны ли эти две величины.

Решение. Шаг 1. Выбираем, что куда откладывать. По горизонтали пусть будет рост, по вертикали — масса. Подписываем обе оси вместе с единицами измерения: «Рост, см» и «Масса, кг». Без подписей диаграмма превращается в россыпь точек, о которой нельзя сказать ровно ничего.

Шаг 2. Выбираем масштаб. Рост у наших юношей меняется от 167 до 181 сантиметра, масса — от 62 до 80 килограммов. Начинать горизонтальную ось от нуля бессмысленно: все точки сожмутся в узкую полоску у правого края, и никакой формы мы не разглядим. Поэтому по горизонтали берём отрезок от 166 до 182, по вертикали — от 60 до 85. Подбирать границы осей под свои данные для диаграмм рассеивания — обычное дело, а не хитрость.

Шаг 3. Ставим точки. Первая пара — 167 и 62. Отступаем по горизонтали до отметки 167, поднимаемся до высоты 62 и ставим точку. Точно так же поступаем с остальными четырнадцатью парами. Пара 175 и 69 — точка над отметкой 175 на высоте 69; пара 181 и 80 — самая правая и самая верхняя точка чертежа.

Ответ: получилась диаграмма, показанная на рисунке 2.

Облако рассеивания

Точки не разлетелись по всей плоскости, но и не выстроились в одну линию. Они заняли вытянутую область, которую называют облаком рассеивания, а иногда, более поэтично, созвездием. У нашего облака хорошо видно направление: оно тянется из левого нижнего угла в правый верхний. Проще говоря, наклонено вправо и вверх.

Что это значит? Пойдём вдоль облака слева направо. Слева стоят точки невысоких юношей, и лежат они низко — масса небольшая. Справа стоят точки высоких, и лежат они выше — масса больше. Значит, в целом чем выше юноша, тем он тяжелее. Такую связь называют положительной.

Итак, диаграммой рассеивания называют изображение двух совместно наблюдаемых величин точками координатной плоскости; при большом числе точек получается облако рассеивания.

Слова «в целом» здесь не для красоты. Найдём в таблице юношу ростом 179 сантиметров: его масса 70 килограммов. А теперь юношу пониже, ростом 174 сантиметра: он тяжелее, 73 килограмма. Более высокий оказался легче — правило нарушено. И это нормально: масса зависит не только от роста, но и от телосложения, питания, занятий спортом. Отдельная пара может идти против общего направления, а облако в целом всё равно будет наклонено вверх. Поэтому и вывод по диаграмме звучит осторожно: «связь, скорее всего, есть», а не «связь доказана».

Считаем точки в области

Диаграмма годится не только на то, чтобы уловить направление. С неё снимают и точные числа — так же, как со столбиковой диаграммы или из таблицы.

Дано: диаграмма на рисунке 2. Требуется: узнать, сколько юношей тяжелее 70 килограммов.

Решение. Шаг 1. Проводим мысленно горизонтальную прямую на высоте 70. Шаг 2. Считаем точки строго выше этой прямой, не задевая её саму: это массы 72, 80, 73, 75 и 74 килограмма. Шаг 3. Точек оказалось пять. Ответ: пятеро.

Точно так же считают точки правее вертикальной прямой или сразу в углу — правее одной прямой и выше другой. Разберём и этот случай.

Дано: та же диаграмма на рисунке 2. Требуется: узнать, сколько юношей одновременно выше 175 сантиметров и тяжелее 70 килограммов.

Решение. Шаг 1. Проводим вертикальную прямую через отметку 175 и горизонтальную через отметку 70. Они делят чертёж на четыре части. Шаг 2. Нас интересует только правая верхняя часть — там точки, у которых обе координаты больше нужных чисел. Шаг 3. Пересчитываем их: пары 178 и 72, 181 и 80, 180 и 75, 178 и 74. Юноша ростом 179 сантиметров сюда не попадает: его масса ровно 70 килограммов, а прямая в счёт не идёт. Ответ: четверо.

Такой угол особенно полезен для проверки первого впечатления. Если связь положительная, точек оказывается много в правом верхнем и в левом нижнем углах и мало в двух других. Если связь отрицательная — наоборот, заполняются левый верхний и правый нижний. А если точки распределились по четырём частям примерно поровну, это ещё один довод в пользу того, что связи нет.

Памятка: как прочитать чужую диаграмму рассеивания

Шаг 1. Прочитайте подписи осей: что отложено по горизонтали, что по вертикали, в каких единицах. Пока это не ясно, дальше идти нельзя.

Шаг 2. Сосчитайте точки — это число наблюдений. Шесть точек и шестьсот точек дают выводы очень разной надёжности.

Шаг 3. Мысленно обведите облако. Есть ли у него наклон? Куда он направлен?

Шаг 4. Оцените ширину облака: точки жмутся к линии или расползлись широкой полосой?

Шаг 5. Сформулируйте вывод осторожно, со словом «вероятно», и обязательно подумайте, не может ли у обеих величин быть общей причины.

Сколько наблюдений нужно

Диаграмма рассеивания тем честнее, чем больше на ней точек. По двум точкам вообще нельзя говорить о связи: через две любые точки проходит прямая, и «наклон» найдётся всегда. По пяти-шести точкам легко принять случайное совпадение за правило. Пятнадцать точек, как у наших юношей, — уже кое-что, а сотня точек позволяет говорить о форме облака уверенно.