§ 9. Наименьшее и наибольшее значения. Размах

Среднее арифметическое и медиана отвечают на один и тот же вопрос: где у набора данных середина. Но у набора есть ещё и края — самое большое и самое маленькое из его чисел. Иногда именно край решает дело, а иногда важнее знать, далеко ли края разбежались друг от друга. Об этом и параграф.

Края набора

Наибольшее значение набора — это самое большое из его чисел, наименьшее — самое маленькое. Искать их проще, чем медиану: упорядочивать весь набор не нужно, достаточно один раз пройти по числам и запомнить двух рекордсменов. Заметь: и наибольшее, и наименьшее значения — это всегда числа самого набора, в отличие от среднего арифметического, которого среди данных может и не оказаться вовсе.

Победителя соревнований почти всегда определяет край, а не середина. В прыжках в длину выигрывает тот, у кого результат самый большой; в беге — тот, у кого время самое маленькое. Про новый автомобиль спрашивают, какую скорость он развивает, и имеют в виду наибольшую. В Книге рекордов Гиннесса средних значений не бывает вовсе: там собраны одни только края, порой довольно странные — самый длинный нос, самое долгое стояние на одной ноге.

Пример: мини-турнир

Четверо семиклассников устроили турнир по прыжкам в длину с места. Каждый сделал по четыре попытки; все результаты, а заодно среднее, наибольшее и наименьшее значения собраны на рис. 1.

Кто из четверых лучший? Ответ зависит от того, по какому числу сравнивать. Рекорд дня — 195 см — поставил Тимур, и по правилам соревнований победителем стал бы именно он: в прыжках в зачёт идёт одна, самая удачная попытка. Зато среднее у Тимура всего 176 см, третий результат из четырёх. Дальше всех в среднем прыгает Аня: у неё 181 см. А самая неудачная попытка турнира, 165 см, — снова у Тимура. Один и тот же прыгун показал и лучший, и худший результат дня.

Два честных способа сравнить дали разные ответы, и это не путаница: они меряют разное. Лучшая попытка говорит, на что человек способен в удачный день; среднее — чего от него ждать обычно. Тренер, который завтра отбирает команду, посмотрит на оба числа.

Когда важен только край

Бывают данные, где всё остальное вообще не имеет значения. У судоходной реки есть фарватер — полоса русла, по которой ходят суда. Течение носит песок и ил, дно меняется, поэтому глубины фарватера промеряют по нескольку раз за навигацию и записывают в список. Капитану из этого списка нужно ровно одно число — самое маленькое. Если судну не хватит глубины хотя бы в одном месте, участок для него закрыт, и никакая средняя глубина этого не исправит.

Наибольшее значение работает так же, только с другой стороны. В Санкт-Петербурге уровень воды в Неве измеряют с 1706 года. Самый высокий подъём за всё время наблюдений — 421 см выше ординара — случился 7 ноября 1824 года; это то самое наводнение, которое описал Пушкин в «Медном всаднике».