§ 8. Медиана

Среднее арифметическое — не единственный способ назвать центр набора одним числом. И не всегда лучший: стоит попасть в данные значению, которое резко выбивается из общего ряда, и среднее уезжает вслед за ним, переставая описывать большинство. Сейчас разберём меру, которая на такие выходки почти не реагирует. Она называется медианой.

Когда среднее подводит

Семь семиклассников засекли, сколько минут у каждого уходит на дорогу до школы. Данные условные, но похожие получились бы в любом классе:

25, 12, 45, 8, 18, 10, 15.

Шестеро живут в соседних дворах, а один добирается через весь город: на его дорогу уходит 45 минут. Найдём среднее:

(25 + 12 + 45 + 8 + 18 + 10 + 15) : 7 = 133 : 7 = 19 (мин).

Девятнадцать минут — это больше, чем тратят пятеро ребят из семи. Число посчитано верно, а описывает оно скорее не класс, а того единственного, кто ездит издалека: одно значение перетянуло центр на себя. Такие резко выделяющиеся значения называют выбросами. Выброс — не обязательно описка: сорок пять минут дороги настоящие. Просто из-за них данные перестали быть однородными, а среднее хорошо работает как раз на однородных данных.

Число, которое стоит посередине

Поступим иначе. Выпишем те же семь чисел по возрастанию (рис. 1):

8, 10, 12, 15, 18, 25, 45.

Набор, записанный по возрастанию, называют вариационным рядом. Теперь сразу видно значение, которое делит класс пополам: это 15. Трое ребят тратят на дорогу не больше пятнадцати минут, трое — не меньше. Число 15 и есть медиана этого набора.

Определение. Медианой числового набора называют такое число t, для которого выполнены сразу два условия: чисел набора, не превосходящих t, хотя бы половина, и чисел, которые не меньше t, тоже хотя бы половина.

Проверим определение на нашем наборе. Возьмём t = 15 и посчитаем, сколько чисел не превосходит пятнадцати: это 8, 10, 12 и само 15, то есть четыре числа из семи — больше половины. Теперь посчитаем те, которые не меньше пятнадцати: 15, 18, 25 и 45, снова четыре. Число 15 попало сразу в обе группы, и это не ошибка: определение разрешает засчитать его и там, и там. Оба условия выполнены, значит 15 и правда медиана. Упорядочивать набор ради такой проверки, кстати, не обязательно — достаточно уметь считать.

Определение выглядит тяжеловесно, зато оно ничего не требует от набора: ни однородности, ни удобного количества чисел. Искать медиану по нему неудобно, поэтому на практике поступают проще: упорядочивают набор и смотрят, что оказалось посередине.

Если чисел чётное количество