Задание 17. Четырёхугольники, многоугольники и их элементы

Задание 17 — четырёхугольники и многоугольники. Дана фигура (иногда с рисунком) и два-три числа; нужно найти угол, сторону, отрезок, периметр или площадь. В бланк пишется одно число, за верный ответ — 1 балл.

Какие бывают задачи. — Трапеция и средняя линия: найти основание или отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию (как в демоверсии). — Трапеция: углы, высота, основания, площадь; чаще всего равнобедренная. — Параллелограмм: углы (через диагональ или биссектрису), стороны, периметр, площадь. — Ромб: углы, диагонали, высота, площадь. — Прямоугольник и квадрат: диагональ, угол между диагоналями, площадь. — Многоугольник: угол правильного многоугольника, число сторон, сумма углов.

Что нужно знать. Диагональ параллелограмма или трапеции — секущая при параллельных сторонах, поэтому накрест лежащие углы равны: если BC ∥ AD, то ∠ACB = ∠CAD. Параллелограмм. Противоположные стороны и углы равны, соседние углы в сумме дают 180°, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник: если биссектриса угла A пересекает BC в точке K, то ∠BKA = ∠KAD = ∠BAK, поэтому AB = BK. Площадь S = a · h = a · b · sin α. Прямоугольник. Диагонали равны и делятся пополам: OA = OB = OC = OD, треугольники AOB и AOD равнобедренные. Если угол между диагоналями равен 60°, треугольник с этим углом при вершине O равносторонний, и меньшая сторона равна половине диагонали. S = a · b. Ромб. Все стороны равны.