Задание 15. Треугольники и их элементы

Задание 15 — первое геометрическое задание ОГЭ, и оно целиком про треугольник. В условии даны углы, стороны или отрезки: высота, медиана, биссектриса, средняя линия. Найти нужно угол, длину или площадь. В бланк пишется одно число, за верный ответ — 1 балл. Задача решается в одно-три действия, если узнать, какой факт в ней спрятан.

Какие задачи бывают.

1) Углы. Сумма углов треугольника равна 180°: если ∠A = 51° и ∠B = 64°, то ∠C = 180° − 51° − 64° = 65°. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Биссектриса делит угол пополам. Высота отсекает прямоугольный треугольник, а острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°: если BH — высота и ∠A = 70°, то ∠ABH = 90° − 70° = 20°.

2) Равнобедренный треугольник. Углы при основании равны: если AB = BC и ∠B = 48°, то ∠A = ∠C = (180° − 48°) : 2 = 66°. Высота, проведённая к основанию, одновременно медиана и биссектриса.

3) Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, c² = a² + b². Гипотенуза c = √(a² + b²), катет a = √(c² − b²). Время экономят пифагоровы тройки 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25; 20, 21, 29 и кратные им.

4) Синус, косинус и тангенс острого угла. В треугольнике ABC с прямым углом C: sin A = BC/AB (противолежащий катет к гипотенузе), cos A = AC/AB (прилежащий катет к гипотенузе), tg A = BC/AC (противолежащий катет к прилежащему).