§ 8. Сокращение дробей

Полоску разделили на 15 равных частей и закрасили 10 из них. Теперь объединим кусочки по пять: полоска распадётся всего на 3 доли, и закрашенными окажутся 2 из них. Закрашено то же самое место полоски, а запись стала короче (рис. 1).

Чтобы перейти от первой записи ко второй, числитель и знаменатель разделили на 5 — на общий делитель этих двух чисел: 10/15 = 2/3 Говорят, что дробь 10/15 сократили на 5 (рис. 2).

Определение. Сокращение дроби — это деление её числителя и знаменателя на общий делитель, больший единицы.

Например, запись 21/28 = 3/4 означает, что сокращение шло на 7: ведь 21 : 7 = 3 и 28 : 7 = 4. Величина дроби при этом не меняется, меняется только её вид.

Сократить удаётся не всякую дробь. У дроби 9/16 числитель и знаменатель взаимно простые: общих делителей, кроме единицы, у них нет. Проверять долго не придётся: 9 нечётное, на 3 не делится 16, а на 4 не делится 9 (рис. 3).

Определение. Дробь называют несократимой, когда её числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

Сокращать можно и в несколько приёмов. Возьмём 84/126. Оба числа чётные, делим на 2: 84/126 = 42/63 Числа 42 и 63 делятся на 3: 42/63 = 14/21 Теперь видно, что 14 и 21 делятся на 7: 14/21 = 2/3 Дальше идти некуда: 2 и 3 взаимно простые, дробь стала несократимой.