§ 45. Параллельные прямые

Две прямые на плоскости могут повести себя лишь двумя способами. Либо у них найдётся общая точка — тогда говорят, что прямые пересекаются, — либо общей точки нет ни одной, и её не появится, сколько эти прямые ни продолжай в обе стороны. Второй случай и есть тема параграфа.

Проведём опыт. Начертим прямую a и поставим точку M, которая этой прямой не принадлежит (рис. 1). Через M проходит бесконечно много прямых: поворачивай линейку вокруг точки как угодно — каждый раз получится новая прямая. Почти все они рано или поздно встретят прямую a: одна пересечёт её далеко за краем чертежа, другая — совсем рядом. И лишь одно положение линейки особое: ровно одна прямая пучка не встретит a никогда. На рис. 1 она проведена синим и названа буквой b.

Определение. Параллельными называют две прямые одной плоскости, у которых нет ни одной общей точки.

Параллельность записывают знаком ∥. Запись m ∥ n читают двумя способами: «прямая m параллельна прямой n» либо «прямые m и n параллельны». Сам знак похож на две дорожки, которые тянутся рядом и не сходятся, — потому его и легко запомнить.

Запомни: через точку, не лежащую на прямой a, проходит ровно одна прямая, параллельная a. Не две и не десять, а одна-единственная — это видно по рис. 1.

Параллельные прямые окружают нас каждый день. Линии дорожной разметки (рис. 2), рельсы на прямом участке пути, лыжня позади лыжника, дальний и ближний края письменного стола — всюду одно и то же: две линии идут рядом и не сближаются. На рис. 2 таких линий сразу три, и любые две из них параллельны: a ∥ b, b ∥ c, a ∥ c.

Определение. Отрезки и лучи называют параллельными, когда параллельны прямые, на которых эти отрезки и лучи лежат.

Разберёмся по рис. 3. Отрезок MN лежит на прямой a, отрезок PQ — на прямой b, а прямые a и b параллельны. Значит, MN ∥ PQ, хотя один отрезок сдвинут относительно другого и они даже не находятся друг под другом.