§ 44. Осевая и центральная симметрии

Возьми лист бумаги, перегни его по прямой и вырежи из сложенного листа любую фигурку. Разверни лист — половинки вырезанной фигуры лягут одна на другую без просветов. Прямую, по которой шёл сгиб, называют осью симметрии фигуры, а саму фигуру — симметричной. Такие фигуры ты видел ещё в пятом классе: бабочка, лист клёна, правильный пятиугольник, окружность (рис. 1).

Теперь выясним, что стоит за словами «половинки совпадут», и научимся получать симметричную фигуру без перегибания листа — линейкой и угольником.

Пусть на листе проведена прямая l, а вне её отмечена точка M. Перегнём лист по прямой l: точка M отпечатается на второй половине листа — назовём отпечаток точкой N. Соединим M и N отрезком. Сгиб пересекает этот отрезок точно в середине, и угол между ними прямой (рис. 2). Иначе быть не может: при перегибании расстояния не меняются, поэтому от сгиба до M и от сгиба до N одна и та же длина.

Определение. Две точки называют симметричными относительно прямой, когда эта прямая перпендикулярна отрезку с концами в этих точках и проходит через его середину.

Про перпендикулярность речь шла в предыдущем параграфе, так что чертить прямой угол угольником ты уже умеешь. На рисунке 2 отрезки MO и ON равны по 3 см, значит длина всего отрезка MN такова:

MN = 3 + 3 = 6 см

Отсюда полезное следствие: точка и симметричная ей точка удалены от оси одинаково, а весь отрезок между ними вдвое длиннее этого расстояния.

Пример 1. Даны прямая l и точка M. Построим точку, симметричную точке M относительно прямой l (рис. 3). Действуем в три шага.

Шаг 1. Через точку M проводим прямую a, перпендикулярную прямой l. Шаг 2. Отмечаем точку O — там, где прямые a и l пересеклись. Шаг 3. На прямой a по другую сторону от l откладываем отрезок ON, равный отрезку OM.

Точка N и есть искомая. Прямая l перпендикулярна отрезку MN по первому шагу, а середину этого отрезка даёт третий шаг — оба условия определения выполнены. Если OM = 3 см, то и ON = 3 см, а MN = 6 см.

Пример 2. Дан треугольник ABC со сторонами AB = 5 см, BC = 6 см, AC = 7 см и прямая l. Построим фигуру, симметричную этому треугольнику относительно прямой l.