§ 42. Решение задач с помощью уравнений

Задачу с длинным условием редко удаётся решить в лоб, по действиям: пока сообразишь, что с чем складывать, половина условия уже забыта. Есть путь надёжнее. Неизвестную величину обозначают буквой, остальные величины выражают через неё, а потом находят в условии равенство и записывают его. Получается уравнение, а решать уравнения ты уже умеешь. Поэтому вся новизна этого параграфа в одном: как из слов условия получить уравнение.

Правило. Чтобы решить задачу с помощью уравнения, проходят пять шагов (рис. 1): выбирают неизвестную величину и обозначают её буквой x; выражают через x остальные величины задачи; отыскивают в условии два выражения с равными значениями и приравнивают их; решают полученное уравнение; возвращаются к вопросу задачи и проверяют ответ по смыслу условия.

Второй шаг даётся легко, если удачно сделан первый. Буквой x обозначают ту величину, через которую остальные выражаются проще всего, — обычно ту, с которой в условии всё сравнивают. Во фразах «в 3 раза больше, чем у Веры» или «на 5 меньше, чем во втором ящике» за x удобно принять именно то, что названо после слова «чем»: тогда остальные величины запишутся коротко, как 3x и x − 5. Если же за x взять другую величину, уравнение тоже получится, но с дробями там, где их можно было избежать.

Пример 1. В трёх отрядах лагеря отдыхают 95 ребят. Во втором отряде 5/8 числа ребят первого отряда, а в третьем — 120 % числа ребят второго. Сколько ребят в каждом отряде?

Решение. Все сравнения ведутся с первым отрядом, поэтому его и обозначим: пусть в первом отряде x ребят. Тогда во втором отряде 5/8 · x ребят. В третьем их 120 % от второго, а 120 % = 1,2, значит в третьем отряде

1,2 · 5/8 · x = 6/5 · 5/8 · x = 3/4 · x

ребят. Втроём отряды дают 95 ребят — вот и нужное равенство:

x + 5/8 · x + 3/4 · x = 95