§ 41. Решение уравнений

Уравнения ты решал и раньше: находил неизвестное слагаемое, неизвестный множитель, неизвестное делимое. Сейчас разберём приём, которым решают уравнение любого вида, а не только самое простое.

Напомним главное слово темы. Корень уравнения — это число, которое при подстановке вместо буквы превращает уравнение в верное числовое равенство. Решить уравнение — значит отыскать все его корни либо убедиться, что корней нет.

Уравнение вида x + a = b поддаётся правилу нахождения неизвестного слагаемого. Например:

x + 4 = 11 x = 11 − 4 x = 7

Так же поступают, когда справа стоит число поменьше:

x + 9 = 5 x = 5 − 9 x = −4

А что делать с уравнением 5x − 3 = 2x + 12? Буква стоит и слева, и справа, и ни одно старое правило сюда не подходит. Нужны два приёма, которые перестраивают уравнение, не задевая его корней.

Начнём с чисел. Возьмём два равных числа и добавим к каждому одно и то же число — равенство уцелеет:

если a = b, то a + c = b + c

Это утверждение называют свойством равенства. Наглядно оно выглядит как весы в равновесии: положи на левую и на правую чашу по одинаковой гирьке — чаши по-прежнему уравновешены (рис. 1). Уравнение — те же весы, только вместо гирь на них части уравнения.

Правило. Одно и то же число разрешено прибавить к каждой из двух частей уравнения либо вычесть из каждой части — корни у него останутся прежними.

Заметь: если корней у уравнения не было вовсе, после такой перестройки они и не появятся.

Испытаем правило на уравнении x + 4 = 11. Прибавим к обеим его частям число −4:

x + 4 + (−4) = 11 + (−4) x = 11 − 4 x = 7

Присмотрись к записи.