§ 39. Распределительное свойство умножения

Умножать и складывать рациональные числа мы уже умеем. Осталось разобрать приём, без которого дальше не обойтись: как убрать скобки в выражении и как, наоборот, собрать выражение в скобки.

Правило «умножить сумму на число — значит умножить на это число каждое слагаемое» знакомо тебе с младших классов. Для отрицательных чисел оно тоже работает, и переучиваться не придётся.

Свойство. Каковы бы ни были рациональные числа a, b и c, верно равенство

a(b + c) = ab + ac

Его называют распределительным свойством умножения относительно сложения.

Вычесть число — то же самое, что прибавить противоположное ему, поэтому такое же равенство верно и для разности:

a(b − c) = ab − ac

Главное здесь — множитель перед скобками достаётся каждому слагаемому, а не одному только первому (рис. 1). Именно на этом чаще всего и ошибаются.

Например: −4(3x + 2y) = −4 · 3x + (−4) · 2y = −12x − 8y Знак каждого произведения находим по правилу знаков, разобранному раньше.

В записи −12x − 8y скобок больше нет. Такое преобразование и называют раскрытием скобок.

Слагаемых в скобках может быть сколько угодно — правило не меняется: 5(a − b + 2c) = 5a − 5b + 10c

Теперь посмотри на выражение −(m − 7 + n). Числа перед скобками не видно, но оно там есть: перед скобками прячется множитель −1. Значит, −(m − 7 + n) = −1 · (m − 7 + n) = −m + 7 − n