§ 36. Вычитание рациональных чисел

Складывать рациональные числа мы уже умеем. Осталось научиться их вычитать — и хорошая новость в том, что нового правила счёта придумывать не придётся. Разность рациональных чисел, как и разность натуральных, объясняют через сложение.

Определение. Разность a − b — это такое число x, для которого верно равенство x + b = a.

Значит, найденную разность всегда можно проверить сложением: прибавь к ответу вычитаемое и посмотри, получилось ли уменьшаемое. Вот четыре разности, найденные прямо по определению: 8 − (−3) = 11, ведь 11 + (−3) = 8 4 − 9 = −5, ведь −5 + 9 = 4 −6 − 7 = −13, ведь −13 + 7 = −6 −2,5 − (−1,8) = −0,7, ведь −0,7 + (−1,8) = −2,5

А теперь посмотри на те же четыре ответа с другой стороны. Каждый из них получается и без всякого вычитания — достаточно заменить вычитаемое противоположным ему числом и сложить: 8 + 3 = 11 4 + (−9) = −5 −6 + (−7) = −13 −2,5 + 1,8 = −0,7 Ответы совпали все до одного. Это не случайность, а общее свойство рациональных чисел.

Правило. Вычитание всегда заменяется сложением: уменьшаемое оставляют как есть, а вычитаемое берут с противоположным знаком.

a − b = a + (−b)

Схема такой замены показана на рис. 1: знак действия меняется на плюс, вычитаемое — на противоположное ему число, а дальше работают уже знакомые правила сложения из § 34.

Самое трудное место темы — два знака «минус», оказавшиеся рядом. Появляются они в двух случаях, и оба стоит разобрать отдельно.

Случай 1. Из положительного числа вычитают отрицательное. Возьмём разность 5 − (−3). Числу −3 противоположно число 3, поэтому 5 − (−3) = 5 + 3 = 8 Уменьшаемое не уменьшилось, а выросло: было 5, стало 8.

Случай 2.