§ 35. Свойства сложения рациональных чисел

Переместительное и сочетательное свойства сложения знакомы тебе с младших классов: слагаемые разрешено менять местами, а скобки — ставить там, где удобнее. Проверяли мы их на положительных числах, но работают они точно так же, когда среди слагаемых есть отрицательные и дробные.

Свойство. Пусть a, b и c — любые рациональные числа. Тогда верны два равенства:

a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c)

Первое равенство называют переместительным свойством сложения, второе — сочетательным.

Например, −9 + 4 = −5 и 4 + (−9) = −5: слагаемые поменялись местами, а сумма осталась прежней (рис. 1).

Второе равенство проверим на сумме −4 + 9 + (−6). Сложим сначала два первых слагаемых, а потом — два последних:

(−4 + 9) + (−6) = 5 + (−6) = −1 −4 + (9 + (−6)) = −4 + 3 = −1

Скобки стояли по-разному, а ответ вышел один и тот же (рис. 2).

Пригодятся и два равенства, знакомые тебе по прошлым параграфам: прибавление нуля ничего не меняет, а сумма противоположных чисел обращается в нуль.

a + 0 = a a + (−a) = 0

Например, −2,7 + 2,7 = 0, а 5/8 + (−5/8) = 0.

Правило. Из двух свойств сложения следует главное: в длинной сумме слагаемые можно переставлять и объединять скобками как угодно. Значит, порядок действий выбираешь ты сам — и выбирать надо такой, при котором считать легче всего.

Что искать в длинной сумме, чтобы счёт стал устным, собрано в таблице на рис.