§ 31. Числовые множества

Связка ключей, пачка тетрадей, команда пловцов, коллекция марок — всюду речь о нескольких предметах, собранных вместе и рассматриваемых как одно целое. Слова разные, а мысль одна. В математике для неё придумали слово, которое подходит везде, — множество.

Определение. Множество — это совокупность каких-либо предметов, чисел или фигур, которую рассматривают как одно целое. То, из чего множество собрано, называют его элементами.

Элементом может быть что угодно. Ты сам — элемент множества учеников своего класса; квадрат — элемент множества четырёхугольников; число 6 — элемент множества делителей числа 12.

Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами A, B, M, K. Если элементов немного, их выписывают через запятую в фигурных скобках. Пусть A — множество натуральных делителей числа 12; тогда A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} (рис. 1).

Запомни: запись a ∈ A читают «a принадлежит множеству A», а запись b ∉ A — «b не принадлежит множеству A».

Для нашего множества это выглядит так: 3 ∈ A, ведь тройка стоит внутри мешочка на рис. 1; а пятёрка на 12 нацело не делится, поэтому 5 ∉ A.

Задать множество можно двумя способами. Первый — перечислить все элементы: B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Второй — назвать свойство, по которому элемент в множество попадает: «B — множество натуральных делителей числа 18». Множество получается одно и то же, а второй способ выручает, когда элементов слишком много.

Множества бывают конечные и бесконечные (рис. 2). У конечного множества элементы можно пересчитать: в множестве A их шесть. Множество натуральных чисел бесконечно: сколько бы чисел мы ни выписали, следующее найдётся. А бывает множество, в котором нет вообще ничего.

Определение. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают знаком ∅.

Например, множество целых чисел, которые больше 2 и меньше 3, пустое: между двумя соседними целыми числами других целых чисел нет. Пустым будет и множество прямоугольников с пятью сторонами.