§ 3. Признаки делимости на 9 и на 3

Число 261 делится на 9 без остатка — в этом убеждает деление в столбик. Но для чисел вроде 5 823 или 40 194 столбик долог, и хочется способа побыстрее. Такой способ есть, и держится он на одной маленькой величине — на сумме цифр.

Сложим цифры каждого из трёх названных чисел: 2 + 6 + 1 = 9 5 + 8 + 2 + 3 = 18 4 + 0 + 1 + 9 + 4 = 18 Все три суммы кратны 9 — и все три числа тоже кратны 9. А у чисел 4 517, 8 302 и 725 суммы цифр равны 17, 13 и 14; ни одна из них девяткой не делится, и сами эти числа на 9 тоже не делятся (рис. 1).

Правило (признак делимости на 9). Натуральное число кратно 9 в том и только том случае, когда кратна 9 сумма его цифр. Не делится сумма — не разделится и число.

Совершенно так же по сумме цифр проверяют тройку.

Правило (признак делимости на 3). Натуральное число кратно 3 в том и только том случае, когда кратна 3 сумма его цифр. Если сумма на тройку не делится, то и число не разделится.

Например, у числа 4 521 сумма цифр равна 12: она кратна 3, но не кратна 9, поэтому 4 521 на 3 разделится, а на 9 — нет. У числа 2 630 сумма цифр равна 11, и это число не кратно ни 3, ни 9. Отсюда виден полезный вывод: всякое кратное девяти кратно и трём, ведь сумма его цифр кратна 9, а значит, кратна и 3. Обратное неверно — 4 521 тому пример.

Откуда у суммы цифр такая власть над числом? Разберём это на числе 738, а перед тем запишем свойство суммы, которое понадобится.

Свойство. Если каждое слагаемое делится нацело на некоторое число, то и вся сумма делится на него нацело. Если же одно слагаемое на это число делится, а другое нет, то сумма нацело не разделится.