§ 26. Цилиндр, конус, шар

Стакан, бревно, монета и рулон скотча сделаны из разного материала и по-разному весят. Но если оставить от предмета только форму и размеры, все четыре окажутся устроены одинаково: это геометрические тела в форме цилиндра.

Определение. Цилиндр — тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Пусть прямоугольник OO₁A₁A вращается вокруг стороны OO₁ (рис. 1). Стороны OA и O₁A₁ опишут два равных круга — основания цилиндра, а сторона AA₁ опишет боковую поверхность. Длина отрезка OO₁ — высота цилиндра, её обозначают буквой h; отрезок AA₁ — образующая; радиус основания обозначают буквой r. Все образующие равны высоте.

Модель цилиндра можно склеить из бумаги. Разрежем боковую поверхность вдоль образующей, развернём её на плоскость и добавим оба основания — получится развёртка цилиндра (рис. 2): прямоугольник и два равных круга радиуса r. Одна сторона прямоугольника ложится на окружность основания, поэтому она равна 2πr, вторая равна высоте h.

Площадь боковой поверхности цилиндра — это площадь прямоугольника развёртки, а площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Правило. Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине окружности основания, умноженной на высоту:

S = 2πrh

Пример 1. Радиус основания цилиндра равен 4 см, высота — 10 см.