§ 22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Сторона квадрата, скорость поезда, стоимость покупки — всё это величины, которые могут принимать разные значения. Их так и называют: переменные величины. Часто две переменные величины связаны друг с другом: стоит измениться одной — меняется и вторая. Тогда говорят, что вторая величина зависит от первой.

Возьмём принтер, который печатает 12 страниц в минуту. Если он проработал t минут, то число напечатанных страниц n находят по формуле

n = 12t.

Подставим в неё несколько значений времени и соберём пары чисел в таблицу (рис. 1).

Присмотрись к таблице. Принтер работал 2 мин — вышло 24 страницы; поработал вдвое дольше, 4 мин, — и страниц стало вдвое больше, 48. Взяли время втрое большее, 6 мин вместо 2 мин, — и страниц оказалось втрое больше: 72 вместо 24. Уменьшили время в 4 раза, с 8 мин до 2 мин, — в 4 раза уменьшилось и число страниц. Величины, которые ведут себя так, получили особое название.

Определение. Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной величины в несколько раз вторая увеличивается во столько же раз, а при уменьшении первой в несколько раз вторая во столько же раз уменьшается.

Итак, время работы принтера и число напечатанных страниц прямо пропорциональны. Говорят и короче: число страниц прямо пропорционально времени работы.

У таких величин есть примета, по которой их легко узнать. Разделим каждое число нижней строки таблицы на стоящее над ним число верхней строки:

12 / 1 = 24 / 2 = 48 / 4 = 96 / 8 = 12.

Частное каждый раз получается одно и то же — 12, то есть скорость печати.

Свойство. Если две величины прямо пропорциональны, то отношение соответствующих значений у них постоянное: какую пару ни возьми, выйдет одно и то же число.

Для принтера это число равно 12, и связь величин коротко записывают так:

n / t = 12.

Отложим значения времени по горизонтали, а отвечающие им числа страниц — по вертикали. Все точки лягут на одну прямую, и эта прямая обязательно пройдёт через начало координат (рис. 2): нулю минут работы отвечает нуль страниц.