§ 20. Пропорции

Отношение 6 : 4 равно 1,5, и отношение 15 : 10 тоже равно 1,5. Значения совпали, поэтому между отношениями можно поставить знак равенства: 6 : 4 = 15 : 10 У такого равенства есть особое имя, пришедшее из латыни: слово proportio означает «соразмерность».

Определение. Пропорцией называют равенство двух равных между собой отношений: a : b = c : d, или, в записи дробями, a/b = c/d.

Читают эту запись так: «отношение a к b равно отношению c к d», а короче — «a относится к b так же, как c к d».

Имена членов пропорции зависят только от места числа в записи. Первое и последнее числа — крайние члены, два числа посередине — средние члены (рис. 1). В пропорции 6 : 4 = 15 : 10 крайние члены — это 6 и 10, а средние — 4 и 15.

Не всякую пару отношений удаётся соединить знаком равенства. Возьмём 5 : 2 и 12 : 6. Первое равно 2,5, второе равно 2, значения разные — пропорции из этих отношений не выйдет.

Присмотримся теперь к пропорции 6 : 4 = 15 : 10. Перемножим крайние члены: 6 · 10 = 60. Перемножим средние: 4 · 15 = 60. Числа совпали, и это не случайность.

Свойство. В любой пропорции произведение её крайних членов равно произведению средних: если a/b = c/d, то ad = bc Это утверждение называют основным свойством пропорции.

Убедиться в нём несложно. Умножим обе части равенства a/b = c/d на одно и то же число bd — равенство от этого не нарушится. Слева получится (a/b) · bd = ad а справа (c/d) · bd = cb Левые части были равны, значит равны и правые: ad = bc.