§ 19. Отношения

Две ленты лежат рядом: одна длиной 12 см, другая длиной 8 см. Сравнить их можно двумя разными действиями. Вычитание отвечает на вопрос «на сколько одна длиннее»: 12 − 8 = 4, разница равна 4 см. Деление отвечает на другой вопрос — «во сколько раз»: 12 : 8 = 1,5. Второе сравнение встречается в математике так часто, что у такого частного есть собственное имя.

Определение. Отношением двух чисел, ни одно из которых не равно нулю, называют их частное. Для чисел a и b это a : b.

Оба числа, из которых составлено отношение, зовут его членами: то, что делят, — предыдущий член, то, на что делят, — последующий. Записать отношение можно двояко — знаком деления или чертой дроби, и обе записи означают одно и то же (рис. 1): a : b = a/b

Какую запись выбрать, решает удобство. Отношение 12 : 8 хорошо смотрится в любом виде, а вот отношение числа 5/6 к числу 3/4 в виде дроби вышло бы четырёхэтажным, и его пишут через двоеточие. Отношения бывают у любых чисел: 9 : 20, 0,6 : 0,15, 5/6 : 3/4.

Чаще всего отношение и нужно затем, чтобы сравнить две величины. Возьмём ленту A длиной 12 см и ленту B длиной 8 см (рис. 2). Отношение длины ленты A к длине ленты B равно 12 : 8 = 1,5 Значит, лента A в 1,5 раза длиннее ленты B.

Поменяем члены местами. Теперь получится отношение длины ленты B к длине ленты A: 8 : 12 = 2/3 Оно отвечает уже на другой вопрос: лента B составляет 2/3 длины ленты A. Такие два отношения называют взаимно обратными, их произведение равно 1. Обе строки стоят рядом на рис. 3 — сравни, о чём говорит каждая.