§ 17. Бесконечные периодические десятичные дроби

Признак из §16 говорит, обратится ли обыкновенная дробь в конечную десятичную: у несократимой дроби знаменатель должен раскладываться на одни двойки и пятёрки. А что получится, если дробь этой проверки не прошла, а мы всё равно начнём делить уголком?

Возьмём дробь 7/11. Знаменатель 11 — простое число, и ни одно круглое число на него нацело не делится, значит конечной десятичной записи у этой дроби нет. Всё же припишем к числителю запятую с нулями и разделим (рис. 1).

Следим за остатками: сначала 7, потом 4, потом снова 7, снова 4. Как только остаток повторился, дальше повторяется и вся работа: одинаковые остатки дают одинаковые цифры частного. Деление никогда не закончится, а в частном получается 7 : 11 = 0,6363... Три точки означают, что пара цифр 6 и 3 повторяется без конца.

Повторение остатка — не случайность, а неизбежность. При делении на 11 каждый остаток меньше делителя, поэтому разных остатков может быть не больше одиннадцати. Значит рано или поздно какой-то из них встретится второй раз, и цифры пойдут по кругу. Остаток 0 означал бы, что деление закончилось и запись конечная. Как остатки водят хоровод, видно на делении 2 : 7 (рис. 2): шесть остатков сменяют друг друга и возвращаются к самому первому.

Определение. Бесконечную десятичную дробь, в которой одна и та же группа цифр повторяется без конца, называют бесконечной периодической десятичной дробью, или короче — периодической дробью. Повторяющуюся группу цифр называют периодом.