§ 11. Умножение дробей

Сторона квадратной плитки равна 2/11 дм. Найдём периметр этой плитки. Периметр — сумма длин всех четырёх сторон, а слагаемые здесь одинаковые: 2/11 + 2/11 + 2/11 + 2/11 = 8/11 Сумму одинаковых слагаемых записывают короче — произведением: 2/11 · 4 = 8/11 (рис. 1). Числитель вырос вчетверо, а знаменатель остался прежним: доли были одиннадцатыми, такими и остались, просто их стало в четыре раза больше.

Правило. Дробь умножают на натуральное число так: числитель умножают на это число, а знаменатель оставляют прежним: a/b · n = (a · n)/b

Например, 3/8 · 5 = 15/8 = 1 целая 7/8. Порядок множителей роли не играет: запись 5 · 3/8 даёт тот же результат.

Запомни: произведение любой дроби и нуля равно нулю: 0 · a/b = 0 a/b · 0 = 0

Теперь научимся перемножать две дроби. Возьмём квадрат со стороной 1 м, его площадь равна 1 м². Отметим внутри квадрата прямоугольник со сторонами 3/5 м и 3/4 м. Разобьём квадрат на 5 вертикальных полос и на 4 горизонтальные — выйдет сетка из 20 одинаковых клеток, площадь каждой равна 1/20 м². Прямоугольник занимает 3 полосы из пяти по ширине и 3 полосы из четырёх по высоте, то есть 3 · 3 = 9 клеток (рис. 2). Его площадь равна 9/20 м², а с другой стороны, площадь прямоугольника — это произведение его сторон: 3/5 · 3/4 = 9/20

Определение. Чтобы перемножить две дроби, перемножают отдельно числители и отдельно знаменатели: первое произведение становится числителем ответа, второе — его знаменателем. a/b · c/d = (a · c)/(b · d)

Умножение на целое число — частный случай этого же правила: любое натуральное число n записывают дробью n/1, и знаменатель от такого множителя не меняется: a/b · n/1 = (a · n)/(b · 1) = (a · n)/b