§ 29. Смешанные числа

Три одинаковых пирога разрезали на четыре равные части каждый и отдали одиннадцать таких кусков. Это два целых пирога и ещё три четверти третьего (рис. 1). Кусков одиннадцать, каждый — четверть, значит отдали 11/4 пирога. Но так никто не говорит: говорят «две целых три четвёртых». Разберёмся, как устроена эта короткая запись и как переходить от неё к дроби и обратно.

Начнём с неправильной дроби 17/5. Разобьём её числитель на два слагаемых так, чтобы первое делилось на 5 без остатка: 17 = 15 + 2. Тогда дробь распадается на сумму: 17/5 = (15 + 2) / 5 = 15/5 + 2/5 = 3 + 2/5. Слева стояла неправильная дробь, а справа вышла сумма: сначала натуральное число, а за ним правильная дробь. Точно так же раскладывается любая неправильная дробь, у которой числитель не делится на знаменатель без остатка.

Сумму вида 3 + 2/5 договорились писать короче: знак «плюс» убирают, а дробь ставят сразу за натуральным числом. Читают такую запись «три целых две пятых».

Определение. Число, записанное как натуральное число и правильная дробь рядом, называют смешанным числом. Натуральное число в этой записи — целая часть смешанного числа, а дробь — его дробная часть (рис. 2).

Запомни: дробная часть смешанного числа всегда правильная, её числитель меньше знаменателя.

Вот примеры смешанных чисел: 5 целых 1/3, 1 целая 7/12, 9 целых 4/9. А записи 5 целых 3/3 и 2 целых 9/8 смешанными числами не являются: дроби 3/3 и 9/8 неправильные, из них ещё можно выделить целое.

Теперь научимся находить целую и дробную части, не подбирая разложение числителя на слагаемые. Вернёмся к дроби 17/5 и разделим 17 на 5 с остатком: 17 = 3 · 5 + 2. Неполное частное 3 показывает, сколько целых уместилось в семнадцати пятых долях, а остаток 2 — сколько долей осталось сверх этих целых (рис. 3).

Правило. Чтобы неправильную дробь, числитель которой не делится на знаменатель без остатка, записать смешанным числом, делят числитель на знаменатель с остатком: неполное частное берут целой частью, остаток — числителем дробной части, а знаменатель оставляют прежним.

Когда числитель делится на знаменатель без остатка, никакой дробной части не появляется и дробь оказывается равной натуральному числу: 24/8 = 3 30/30 = 1 Смешанным числом такую дробь не записывают.