§ 26. Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей

Знаменатель дроби показывает, на сколько равных долей разделили целое, а числитель — сколько таких долей взяли. Что же получится, если взять ровно столько долей, на сколько целое разделили? Разрежем полоску бумаги на 6 равных частей и закрасим все шесть (рис. 1). Закрашенной окажется вся полоска, то есть 6/6 полоски — это одна целая полоска.

6/6 = 1

Правило. Дробь, числитель которой совпал со знаменателем, равна единице.

Буквами это правило записывают так:

m / m = 1

Здесь m — любое натуральное число. Например, 4/4 = 1, 19/19 = 1, 300/300 = 1.

А можно ли взять долей больше, чем помещается в одном целом? Можно — если целых несколько. Возьмём два одинаковых круглых пирога и каждый разрежем на 5 равных долей. Один пирог возьмём весь, а от второго — ещё 3 доли (рис. 2). Всего получилось 5 + 3 = 8 долей, и каждая доля равна одной пятой пирога. Значит, взято 8/5 пирога, и у этой дроби числитель больше знаменателя.

Определение. Дробь называют правильной, когда её числитель меньше знаменателя.

Определение. Дробь называют неправильной, когда её числитель больше знаменателя или совпадает с ним.

Например, 2/9, 13/20 и 46/100 — правильные дроби, а 8/5, 6/6 и 41/13 — неправильные.

Откуда взялись эти названия, хорошо видно по рисунку. Пусть целое — полоска, разделённая на 4 равные части. Три доли не заполняют её до конца, поэтому дробь 3/4 правильная. А семи долям в одной полоске уже тесно, они выходят за её край, поэтому дробь 7/4 неправильная (рис. 3).

Ещё нагляднее это на координатном луче. Разделим единичный отрезок на 5 равных частей и отметим дроби со знаменателем 5 (рис.