§ 20. Степень числа

Сумму одинаковых слагаемых мы уже умеем записывать короче. Вместо 6 + 6 + 6 + 6 + 6 пишут 6 · 5, и строчка становится вдвое компактнее. А что делать, если одинаковы не слагаемые, а множители? Для этого случая в математике придумали отдельную запись (рис. 1).

Произведение пяти шестёрок записывают так:

6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 6⁵

Определение. Произведение одинаковых множителей записывают в виде aⁿ и называют степенью. Повторяющийся множитель a — это основание степени, а число n — показатель степени (рис. 2).

Показатель отвечает ровно на один вопрос: сколько одинаковых множителей перемножили. В записи 6⁵ пятёрка сверху сама множителем не является — она работает счётчиком и сообщает, что шестёрок ровно пять.

Читают запись 6⁵ двумя способами: «шесть в пятой степени» или «пятая степень числа шесть». Оба варианта равноправны.

Вот ещё несколько степеней и их значения:

3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81

2⁶ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64

10⁴ = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000

a⁴ = a · a · a · a

(4k)² = 4k · 4k

Определение. Степень с показателем 2 называют квадратом числа, а степень с показателем 3 — кубом числа. Поэтому m² читают «эм в квадрате», а m³ — «эм в кубе».

Эти названия пришли из геометрии. Квадрат со стороной 4 клетки сложен из 4 · 4 = 16 клеток, и число клеток коротко записывают как 4² (рис.