§ 19. Деление с остатком

Как разделить 23 карандаша поровну между четырьмя друзьями? Каждый получит по 5 карандашей, а 3 карандаша останутся лежать на столе (рис. 1).

Такую раздачу записывают равенством:

23 = 4 · 5 + 3

Определение. В этой записи число 5 называют неполным частным, а число 3 — остатком. Говорят так: при делении 23 на 4 получилось неполное частное 5 и остаток 3.

Почему неполное частное именно 5? Ведь равенство 23 = 4 · 4 + 7 тоже верное. Но семь лишних карандашей — это ещё целая раздача: каждому можно дать ещё по одному. Неполное частное — самое большое число, при котором произведение делителя на него не больше делимого: 4 · 5 = 20 не больше 23, а 4 · 6 = 24 уже больше.

Правило. Остаток всегда меньше делителя.

Поэтому при делении на 4 остаток бывает только одним из чисел 0, 1, 2, 3 (рис. 2). Остаток 4 невозможен: из четырёх лишних предметов вышла бы ещё одна полная раздача.