§ 17. Сочетательное и распределительное свойства умножения

Коробка конфет уложена в два слоя. В каждом слое три ряда, а в ряду по четыре конфеты (рис. 1). Сколько всего конфет? Сосчитать можно двумя способами, и оба обязаны дать один ответ.

Первый способ. В одном слое 4 · 3 = 12 конфет, а слоёв два, поэтому всего конфет (4 · 3) · 2 = 12 · 2 = 24.

Второй способ. В одном столбике по три конфеты в каждом из двух слоёв, то есть 3 · 2 = 6 конфет. Столбиков четыре, всего 4 · (3 · 2) = 4 · 6 = 24.

Конфет мы не добавляли и не убирали, поэтому оба выражения равны:

(4 · 3) · 2 = 4 · (3 · 2)

Свойство. Если произведение двух чисел надо умножить ещё на одно число, разрешается поступить наоборот: перемножить сначала второе число с третьим, а на результат умножить первое.

Это сочетательное свойство умножения. Буквами его записывают коротко:

(ab)c = a(bc)

Например, для a = 5, b = 3, c = 2: (5 · 3) · 2 = 15 · 2 = 30 и 5 · (3 · 2) = 5 · 6 = 30.

Переместительное свойство меняет множители местами, сочетательное — расставляет скобки. Вместе они дают полную свободу: верно, например, равенство 12 · 5 · 7 = (12 · 7) · 5.

Такая свобода выручает в устном счёте. В произведении 25 · 17 · 4 есть дружная пара: 25 · 4 = 100. Переставим множители и возьмём пару в скобки (рис. 2):

25 · 17 · 4 = 17 · (25 · 4) = 17 · 100 = 1 700

Пары-помощники стоит выучить: 25 · 4 = 100, 2 · 50 = 100, 5 · 20 = 100, 125 · 8 = 1 000.

Другой чертёж: прямоугольник высотой в 4 клетки сложен по ширине из кусков в 5 и 3 клетки (рис. 3). Сколько в нём клеток?