§ 16. Умножение. Переместительное свойство умножения

На клетчатом листе начертили прямоугольник шириной шесть клеток и высотой четыре клетки (рис. 1). Сколько клеток попало внутрь? По одной пересчитывать долго, а по рядам — быстро: рядов четыре, и в каждом по шесть клеток.

Значит, клеток столько:

6 + 6 + 6 + 6 = 24

Слева стоит сумма, у которой все слагаемые одинаковые. Такую сумму записывают короче — произведением:

6 · 4 = 24

Определение. Пусть натуральное число b больше 1. Тогда произведение a · b — это сумма, в которой слагаемое a повторено b раз.

У каждого числа в записи a · b = c своё имя (рис. 2). Здесь a и b — это множители, а c — произведение. Произведением зовут и саму запись a · b, даже пока она не сосчитана.

Проверим определение на других числах: 9 · 3 = 9 + 9 + 9 2 · 7 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 1 · 4 = 1 + 1 + 1 + 1 0 · 3 = 0 + 0 + 0

Обрати внимание: у произведений 9 · 3 и 2 · 7 суммы получились разной длины и из разных слагаемых.

Между буквами и между числом и буквой знак умножения обычно не ставят: вместо 5 · a пишут 5a, вместо a · b — ab. А между двумя числами точка нужна всегда, иначе 5 · 3 превратилось бы в 53.

А если второй множитель равен 1? Сумму из одного-единственного слагаемого рассматривать не принято, поэтому договорились считать так:

a · 1 = a

Про нуль договорились похоже:

a · 0 = 0

Отсюда получается и совсем короткое равенство 0 · 0 = 0.

Когда же единица или нуль стоят первым множителем, ничего придумывать не надо — работает само определение: 1 · 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 0 · 4 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Правило. Когда один из множителей равен единице, произведение совпадает со вторым множителем:

a · 1 = 1 · a = a

Правило. Когда хотя бы один множитель нулевой, всё произведение обращается в нуль:

a · 0 = 0 · a = 0