§ 1.3. Системы счисления, родственные двоичной

Двоичная запись честно показывает, как устроена машина, но человеку с ней тяжело. Даже небольшое число разрастается в длинную цепочку нулей и единиц, в которой ничего не стоит потерять или лишний раз повторить разряд. Записать бы то же самое покороче — но так, чтобы переход к двоичному виду не стоил никаких вычислений. Именно этим и хороши две системы счисления, о которых пойдёт речь: восьмеричная и шестнадцатеричная. Их называют родственными двоичной, и родство здесь буквальное: основания обеих — степени двойки.

Восьмеричная система счисления — позиционная, а её основание равно восьми. Значит, в алфавите этой системы ровно восемь цифр, и самая старшая из них — семёрка. Восьмёрка и девятка в восьмеричной записи не встречаются никогда: если вы их увидели, число записано в какой-то другой системе. Разряды, как обычно, считают справа налево, начиная с нулевого, а вес разряда — это соответствующая степень восьмёрки. Нулевой разряд весит единицу, первый — восемь, второй — шестьдесят четыре, третий — пятьсот двенадцать, и дальше вес каждый раз умножается на восемь.

Чтобы узнать, какому десятичному числу отвечает восьмеричная запись, переходят к развёрнутой форме: каждую цифру умножают на вес её разряда и складывают произведения.

Пример 1. Найдём десятичное значение числа 254₈.

Дано: 254₈. Решение. В записи три разряда. Двойка стоит во втором разряде, его вес 8² = 64. Пятёрка занимает первый разряд с весом 8, четвёрка — нулевой с весом 1. Складываем произведения: 2 · 64 + 5 · 8 + 4 · 1 = 128 + 40 + 4 = 172. Ответ: 172₁₀.

Обратная дорога — из десятичной системы в восьмеричную — проходится делением, и она дословно повторяет знакомый по двоичной системе приём, только делитель другой. Число делят на восемь. Полученное неполное частное снова делят на восемь. И так до тех пор, пока очередное частное не окажется нулём. После этого выписывают остатки, начиная с последнего, снизу вверх (рис. 1). Порядок обратный не по капризу: первое деление отрезает от числа младший разряд, а младший разряд в записи стоит правее всех.

Всё самое ценное в восьмеричной системе начинается с равенства 8 = 2³. Три двоичных разряда дают ровно восемь разных наборов — от 000 до 111, — а цифр в восьмеричном алфавите как раз восемь. Каждой восьмеричной цифре можно раз и навсегда сопоставить свою цепочку из трёх нулей и единиц с тем же числовым значением. Такую цепочку называют двоичной триадой. Все триады собраны на рис. 2; заучивать их не нужно, каждая получается обычным переводом однозначного числа в двоичную запись.

Из этого соответствия следуют два правила перевода, в которых нет ни одного вычисления.