§ 1.2. Двоичная система счисления

Внутри компьютера нет ни цифры 7, ни цифры 3. Любая его деталь — ячейка памяти, участок дорожки на диске, вывод микросхемы — умеет находиться ровно в двух состояниях: есть напряжение или нет, намагничен участок или не намагничен. Два состояния — две цифры. Поэтому машина считает в системе, где цифр всего две, и умение переводить числа туда и обратно нужно каждому, кто хочет понимать, что происходит у компьютера внутри.

Двоичная система счисления — позиционная, а её основание равно двум. Позиционная она потому, что значение цифры зависит от места, на котором эта цифра стоит: единица в конце записи и единица в её начале значат совсем разное. Основание два означает, что цифр в алфавите этой системы ровно две: 0 и 1. Никакой другой цифры в двоичной записи появиться не может — увидев в записи двойку или семёрку, можно сразу сказать, что число записано не в двоичной системе.

Разряды принято считать справа налево, начиная с нулевого. У каждого разряда есть свой «вес» — та степень двойки, на которую умножается стоящая в нём цифра. Нулевой разряд весит 1, первый — 2, второй — 4, дальше вес каждый раз удваивается. Эти веса удобно держать перед глазами (рис. 1): почти вся работа с двоичными числами сводится к тому, чтобы правильно сложить нужные степени двойки.

Записать число в развёрнутой форме — значит расписать его как сумму разрядных слагаемых. Для двоичного числа 101101₂ это выглядит так:

101101₂ = 1 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰.

Слагаемые с нулями ничего не добавляют, а умножать на единицу незачем, поэтому запись сокращают до свёрнутой формы — остаются только те степени двойки, над которыми в записи стоят единицы:

101101₂ = 2⁵ + 2³ + 2² + 2⁰.

Отсюда сразу видно правило перевода в привычную десятичную систему: надо сложить веса тех разрядов, где стоят единицы.

Пример 1. Переведём число 101101₂ в десятичную систему.

Дано: 101101₂. Решение. В записи шесть разрядов, единицы стоят в пятом, третьем, втором и нулевом. Их веса — 32, 8, 4 и 1. Складываем: 32 + 8 + 4 + 1 = 45. Ответ: 45₁₀.

Обратный перевод — из десятичной системы в двоичную — делают двумя способами. Первый годится, когда таблица весов под рукой: число разбирают на степени двойки, начиная с самой большой, которая в него помещается.

Пример 2. Переведём число 200 в двоичную систему подбором степеней.

Дано: 200₁₀. Решение. Самая большая степень двойки, не превышающая 200, — это 128. Остаётся 200 − 128 = 72. В семьдесят два помещается 64, остаётся 72 − 64 = 8. Восьмёрка — сама степень двойки, значит разбор закончен: 200 = 128 + 64 + 8. Теперь напротив каждого веса ставим единицу, если он вошёл в сумму, и ноль, если не вошёл. Веса от 128 до 1: 128 — единица, 64 — единица, 32 — ноль, 16 — ноль, 8 — единица, 4 — ноль, 2 — ноль, 1 — ноль.