§ 1.1. Общие сведения о системах счисления

Люди научились считать раньше, чем писать, и почти сразу им понадобилось где-то сохранять результат счёта: сколько овец в стаде, сколько мешков зерна собрано, сколько дней осталось до полнолуния. Так у каждого народа появился свой способ записывать числа.

Система счисления — это набор знаков вместе с правилами, по которым из этих знаков собирается запись числа. Сами знаки называют цифрами, а их полный список — алфавитом системы счисления. В привычном нам десятичном алфавите десять цифр, в двоичном — две, а в римской записи роль цифр играют буквы.

В любой системе есть числа, для которых заготовлен отдельный знак: их называют узловыми. Все прочие числа — их называют алгоритмическими — собираются из узловых по правилу самой системы. Различаются системы счисления как раз этими двумя вещами: какие числа взяты узловыми и каким действием из них получают остальные. Видов систем счисления три: унарная, непозиционные и позиционные (рис. 1).

Самый древний способ записи — унарный, его следы находят на стоянках первобытных людей. Предметов столько, сколько сделано одинаковых значков: зарубок на палке, чёрточек, точек. Одна вещь — один знак, других правил нет. Узловое число здесь всего одно — единица, а любое другое число получается её повторением. Малыш, показывающий на пальцах, сколько ему лет, пользуется именно унарной системой; счётные палочки первоклассника и полоски на индикаторе громкости в аудиосистеме устроены так же. Достоинство у неё одно — простота, а недостаток тяжёлый: запись выходит ровно такой длины, каково само число, и уже три сотни превращаются в три сотни чёрточек. Ни прочитать такую запись с одного взгляда, ни сложить два числа, не пересчитывая значки заново, невозможно.

Примерно пять тысяч лет назад в Египте придумали способ экономнее. Отдельные иероглифы — шест, дуга, свёрнутый пальмовый лист, цветок лотоса и другие — завели для семи узловых чисел: единицы, десятка, сотни, тысячи, десяти тысяч, ста тысяч и миллиона. Любое число складывали из этих знаков, повторяя каждый иероглиф столько раз, какая цифра стоит в соответствующем разряде. Чтобы записать 2143, египтянин рисовал два лотоса, один свёрнутый лист, четыре дуги и три шеста — всего десять знаков вместо двух тысяч с лишним чёрточек унарной записи. Порядок знаков ничего не менял: их выписывали слева направо, справа налево или в столбик, и число оставалось прежним.

Систему счисления называют непозиционной, если знак означает одно и то же, где бы в записи он ни стоял. Египетская запись — образец такой системы: три шеста дают три единицы и в начале записи, и в конце.

Дожила до наших дней и другая непозиционная система — римская, ей около двух с половиной тысяч лет. Узловых чисел в ней семь, и у каждого свой знак: I — один, V — пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — пятьсот, M — тысяча. Остальные числа собирают сложением и вычитанием по одному правилу: меньший знак, поставленный перед большим, из него вычитается, а поставленный после большего — к нему прибавляется. Поэтому IV означает 5 − 1 = 4, а VI означает 5 + 1 = 6 (рис. 2). Разберём запись подлиннее: CDXLVII = (500 − 100) + (50 − 10) + 5 + 1 + 1 = 447. Одну и ту же букву сегодня не принято повторять подряд больше трёх раз, поэтому сорок записывают как XL, а не как XXXX.